Benutzer:Qniemiec/Tipps und Tricks

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Kennzeichnung eines unsignierten Beitrags

(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/IP-Nummer|IP-Nummer]] ([[Benutzer Diskussion:IP-Nummer|Diskussion]]) 05:28, 27. Feb. 2006 (CEST))

Quellennachweise und Links

Proof

The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition. One direction is very brief by using the oscillation definition of continuity: if f is discontinuous on a set of positive measure, then for some ε, f has oscillation at least ε on a set Xε of positive measure $m(X_{\epsilon })>0,$ so the upper and lower integrals of f differ by at least $\epsilon \cdot m(X_{\epsilon });$ this is where oscillation is used. The converse direction is straightforward but longer. Conversely, if f is continuous almost everywhere, then for any partition of the interval $[a,b],$ first divide the partition into two sets of intervals, C and D, with D containing all discontinuous points and C containing the rest. Intuitively, the width of D can be made arbitrarily small, while the height of C can be made arbitrarily small. Formally, for any ε, one can choose a subpartition D′ such that discontinuities are contained in intervals of total length at most ε; then the lower sum and upper sum on D′ differ by at most $\epsilon \cdot (M-m),$ where m and M are the infimum and supremum of f; this is where boundedness is used, and implicitly the equivalence of Jordan content zero and Lebesgue measure zero on a compact set (hence a finite partition can be used). On the rest (C′), the function is continuous on a compact interval, hence uniformly continuous, so a subpartition can be chosen such that on each subinterval, the function varies by at most ε, so the lower and upper sums differ by at most $\epsilon \cdot (b-a)$ (this is where compactness is used). The total difference is thus bounded by $\epsilon \cdot {\bigl (}(M-m)+(b-a){\bigr )}=K\epsilon ,$ which is a constant times ε, and hence can be made arbitrarily small, thus the function is Riemann integrable.

Häufig verwendete Literaturstellen

• Kleine Enzyklopädie Mathematik
• Grimsehl Bd.I
• Grimsehl Bd.II

Mehrfaches Zitieren derselben Quelle

Das ist das erste "Zitat" aus der Quelle, und das dann das zweite "Zitat" aus derselben Quelle.

Links

Das ist ein interner Link zum Thema Schiefwinklige Koordinatensysteme in den deutschen Wikibooks.

Das ist ebenfalls ein interner Link, allerdings nun zum Thema Oblique coordinates in der englischen Wikipedia (das "w" am Anfang der Adresse kann hier weggelassen werden).

Das dagegen ist ein Link zu der Sprungmarke Schiefwinklige Koodinaten in der externen Quelle Mathe-online/Mathematische Hintergründe/Zeichenebene und Koordinatensystem.

Externe Links sind auch die folgenden beiden Verweise:

Anthony W. Knapp; Group Representations and Harmonic Analysis from Euler to Langlands, Part I
Anthony W. Knapp; Group Representations and Harmonic Analysis from Euler to Langlands, Part II

Wikipedia-Aufrufzähler: Was wird wie oft aufgerufen?

Ausrichtung von Gleichungen

Das &-Zeichen zeigt an, wonach ausgerichtet werden soll, und neue Zeilen werden mit \\ eingeleitet:

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\&=cos^{2}(x)+sin^{2}(x)\\&\ \,\vdots \\y'_{n}&=f(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\ \end{aligned}}$

Anmerkung: Wird eine Formel auf weißen Hintergrund angezeigt, kann man blauen Hintergrund erzwingen, indem man die Zeichen "\," hintanfügt!
Anmerkung: Wird eine Formel in HTML-Code statt als PNG-Grafik angezeigt, kann man letzteres erzwingen, indem man die Zeichen "\," hintanfügt!

Tabellarische Anordnung von Abbildungen

Eine der weltgrößten Bergkristallkugeln, im Hintergrund die Turnhalle der ehem. Thüringischen Landesfeuerwehrschule	„Entmilitarisierter“ DDR-Bunker, darunter: Schrott-Skulptur von Mandir Karamol im „Meer der Unbewusstheit“	Rosenquarz-geschmückter Pavillon von Mandir Karamol, darunter: Freiluftmuseum alter Landwirtschaftstechnik	Restaurierter Schlauchturm der ehem. Thüringischen Landesfeuerwehrschule (Gestaltung: Shunyam Peter Schaden und Mandir Karamol)

Die Potentialtöpfe eines Atomkerns für Neutronen (links) und Protonen (rechts)

Nebeneinanderstellen von Abbildungen

RPY angles of cars, ships and other vehicles

Übereinanderstellen von Abbildungen

Inverse Nutzenfunktion eines risikoaversen (risikoscheuen) Marktteilnehmers
CE - Sicherheitsäquivalent; E(U(W)) - Erwartungswert des Nutzens (erwarteter Nutzen) des unsicheren Vermögens; E(W) - Erwartungswert des unsicheren Vermögens; U(CE) - Nutzen des Sicherheitsäquivalents; U(E(W)) - Nutzen des Erwartungswerts des unsicheren Vermögens; U₀ - Minimaler Nutzen; U₁ - Maximaler Nutzen; W₀ - Vermögen zur Erzielung des minimalen Nutzens; W₁ - Vermögen zur Erzielung des maximalen Nutzens; RP - Risikoprämie

Nutzenfunktion einer risikoaversen (risikoscheuen) Person

Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person

Nutzenfunktion einer risikoaffinen (risikoliebenden) Person

CE - Sicherheitsäquivalent; E(U(W)) - Erwartungswert des Nutzens (erwarteter Nutzen) des unsicheren Vermögens; E(W) - Erwartungswert des unsicheren Vermögens; U(CE) - Nutzen des Sicherheitsäquivalents; U(E(W)) - Nutzen des Erwartungswerts des unsicheren Vermögens; U(W₀) - Nutzen des minimalen Vermögens; U(W₁) - Nutzen des maximalen Vermögens; W₀ - Minimales Vermögen; W₁ - Maximales Vermögen; RP - Risikoprämie

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