Ein wandartiger Träger ist
Wenn in der Skizze oben
α = β = φ 2 {\displaystyle \alpha =\beta ={\frac {\varphi }{2}}}
(14.1) sin α = B D ¯ 1 = B D ¯ {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\overline {BD}}{1}}={\overline {BD}}}
(14.2) sin α = D E ¯ B D ¯ {\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {\overline {DE}}{\overline {BD}}}}
(14.3) sin α = D E ¯ sin α {\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {\overline {DE}}{\sin {\alpha }}}}
(14.4) sin 2 α = D E ¯ {\displaystyle {\sin }^{2}{\alpha }={\overline {DE}}}
(15.1) cos α = O D ¯ 1 = O D ¯ {\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {\overline {OD}}{1}}={\overline {OD}}}
(15.2) cos α = O C ¯ O D ¯ {\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}}
(15.3) cos α = O C ¯ cos α {\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {\overline {OC}}{\cos {\alpha }}}}
(15.4) cos 2 α = O C ¯ {\displaystyle \cos ^{2}{\alpha }={\overline {OC}}}
(16) cos ( 2 α ) = O A ¯ 1 = O A ¯ {\displaystyle \cos {\left(2\alpha \right)}={\frac {\overline {OA}}{1}}={\overline {OA}}}
(17.1) O A ¯ = O C ¯ − D E ¯ = cos ( 2 α ) {\displaystyle {\overline {OA}}={\overline {OC}}-{\overline {DE}}=\cos {\left(2\alpha \right)}}
eingesetzt (15.4) und (14.4)
(17.2) cos 2 α − sin 2 α = cos ( 2 α ) {\displaystyle \cos ^{2}{\alpha }-{\sin }^{2}{\alpha }=\cos {\left(2\alpha \right)}}
Zusammenhang Sinus/Kosinus
sin 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}{\alpha }=1}
cos 2 α = 1 − sin 2 α {\displaystyle \cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha }
sin 2 α = 1 − cos 2 α {\displaystyle \sin ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\alpha }
für Sinus in (17.2) eingesetzt
(18.1) 1 − sin 2 α − sin 2 α = cos ( 2 α ) {\displaystyle 1-\sin ^{2}\alpha -{\sin }^{2}{\alpha }=\cos {\left(2\alpha \right)}}
(18.2) sin 2 α = 1 − cos ( 2 α ) 2 {\displaystyle {\sin }^{2}{\alpha }={\frac {1-\cos {\left(2\alpha \right)}}{2}}}
für Kosinus in (17.2) eingesetzt
(18.3) cos 2 α − ( 1 − cos 2 α ) = cos ( 2 α ) {\displaystyle \cos ^{2}{\alpha }-(1-{\cos }^{2}{\alpha )}=\cos {\left(2\alpha \right)}}
(18.4) cos 2 α = 1 + cos ( 2 α ) 2 {\displaystyle {\cos }^{2}{\alpha }={\frac {1+\cos {\left(2\alpha \right)}}{2}}}
wenn wie oben vorausgesetzt
α = φ 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\varphi }{2}}}
für Sinus
(19.1) sin 2 ( φ 2 ) = 1 − cos φ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\frac {1-\cos {\varphi }}{2}}}
oder
(19.2) sin ( φ 2 ) = 1 − cos φ 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos {\varphi }}{2}}}}
für Kosinus
(19.3) s i n 2 ( φ 2 ) = 1 − c o s φ 2 {\displaystyle {sin}^{2}\left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\frac {1-cos{\varphi }}{2}}}
oder
(19.4) cos φ 2 = 1 + cos φ 2 {\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {\varphi }}{2}}}}
Fläche
(1) A = A 1 + A 2 {\displaystyle A=A_{1}+A_{2}}
Dreiecksflächen über zwei Seiten und den Innenwinkel A 1 {\displaystyle A_{1}} A 2 {\displaystyle A_{2}}
(1.1) A 1 = a b sin β 2 {\displaystyle A_{1}={\frac {ab\sin {\beta }}{2}}}
(1.2) A 2 = c d sin δ 2 {\displaystyle A_{2}={\frac {cd\sin \delta }{2}}}
(2.1) A 2 = ( a b sin β 2 + c d sin δ 2 ) 2 = 1 4 ( a b sin β + c d sin δ ) 2 {\displaystyle A^{2}=\left({\frac {ab\sin \beta }{2}}+{\frac {cd\sin \delta }{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}\left(ab\sin \beta +cd\sin \delta \right)^{2}}
(2.2) A 2 = 1 4 ( a 2 b 2 s i n 2 β + 2 a b c d sin β sin δ + c 2 d 2 sin 2 δ ) {\displaystyle A^{2}={\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}sin^{2}\beta +2abcd\sin \beta \sin \delta +c^{2}d^{2}\sin ^{2}\delta \right)}
(3.1) p 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s β {\displaystyle p^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ cos\beta }
(3.2) p 2 = c 2 + d 2 − 2 c d c o s δ {\displaystyle p^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\ cos\delta }
gleichgesetzt
(3.3) a 2 + b 2 − 2 a b cos β = c 2 + d 2 − 2 c d c o s δ {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos \beta =c^{2}+d^{2}-2cd\ cos\delta }
(3.4) a 2 + b 2 − c 2 − d 2 = 2 a b c o s β − 2 c d c o s δ = 2 ( a b c o s β − c d c o s δ ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2ab\ cos\beta -2cd\ cos\delta =2\left(ab\ cos\beta -cd\ cos\delta \ \right)}
Die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten ist gleich der Summe der Längen der anderen beiden Seiten.
a + c = b + d {\displaystyle a+c=b+d} Beweis (siehe Skizze):
a + c = e + f + g + h {\displaystyle a+c=e+f+g+h} b + d = f + g + h + e {\displaystyle b+d=f+g+h+e} also
( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 = 4 ( a 2 b 2 − a 2 b 2 sin 2 β − 2 a b c d cos β cos δ + c 2 d 2 cos 2 δ ) {\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4\left(a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}\sin ^{2}\beta -2abcd\cos \beta \cos \delta +c^{2}d^{2}\cos ^{2}\delta \right)}
Tangentenabschnitte von einem Punkt an den Kreis sind gleich lang.
Beweis:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt
(1.1) M P 2 = A P 2 + r 2 {\displaystyle MP^{2}=AP^{2}+r^{2}}
(1.2) M P 2 = B P 2 + r 2 {\displaystyle MP^{2}=BP^{2}+r^{2}}
(2.1) A P 2 = B P 2 {\displaystyle AP^{2}=BP^{2}}
(2.2) A P = B P {\displaystyle AP=BP}
Verdrängungspfähle sind Gründungselemente bei der Tiefgründung .
Bei Verdrängungspfählen entsteht, im Gegensatz zur reinen Bohrpfählen , gar kein oder nur weniger Bohrgut an.
Die Ausführung von Verdrängungspfählen ist in der Norm DIN EN 12699 geregelt.
Man unterscheidet zwischen Vollverdrängungspfählen und Teilverdrängungspfählen nach dem anfallenden Bohrgut.
Bei Vollverdrängungspfählen fällt gar kein Bohrgut an, bei Teilverdrängungspfählen fällt etwas Bohrgut an.
Man unterscheidet weiter nach Fertigpfählen oder Ortbetonpfählen.
Fertigpfähle sind Rammpfähle die immer Vollverdrängungspfähle sind.
Beweis mit dem Satz des Pythagoras
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Abbildung und Bezeichnungen siehe Skizze oben.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt
(1.1) b 2 = h c 2 + d 2 {\displaystyle b^{2}=h_{c}^{2}+d^{2}}
und
(1.2) a 2 = h c 2 + ( c − d ) 2 {\displaystyle a^{2}=h_{c}^{2}+(c-d)^{2}}
Subtraktion ergibt
(2) a 2 − b 2 = c 2 − 2 c d {\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd}
aufgelöst nach d {\displaystyle d}
(3) d = − a 2 + b 2 + c 2 2 c {\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}
nach Pythagoras ist
(4) h c 2 = b 2 − d 2 {\displaystyle h_{c}^{2}=b^{2}-d^{2}}
nach der 3. binomischen Formel
(5) h c 2 = ( b − d ) ( b + d ) {\displaystyle h_{c}^{2}=(b-d)(b+d)}
(3) in (5) eingesetzt
(6) h c 2 = ( b − − a 2 + b 2 + c 2 2 c ) ( b + − a 2 + b 2 + c 2 2 c ) {\displaystyle h_{c}^{2}=\left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)}
umgewandelt
(7) 4 c 2 h c 2 = ( 2 b c + a 2 − b 2 − c 2 ) ( 2 b c − a 2 + b 2 + c 2 ) {\displaystyle 4c^{2}h_{c}^{2}=\left(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\left(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}
2. und 1. binomische Formeln angewandt
(8) 4 c 2 h c 2 = [ a 2 − ( b − c ) 2 ] [ − a 2 + ( b + c ) 2 ] {\displaystyle 4c^{2}h_{c}^{2}=\left[a^{2}-(b-c)^{2}\right]\left[-a^{2}+(b+c)^{2}\right]}
3. binomische Formel angewandt
(9) 4 c 2 h c 2 = ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( − a + b + c ) ( a + b + c ) {\displaystyle 4c^{2}h_{c}^{2}=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}
s {\displaystyle s}
(10) s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
(11.1) 2 s = a + b + c {\displaystyle 2s={a+b+c}}
(11.2) 2 s − 2 a = − a + b + c {\displaystyle 2s-2a={-a+b+c}}
(11.3) 2 s − 2 b = a − b + c {\displaystyle 2s-2b={a-b+c}}
(11.4) 2 s − 2 c = a + b − c {\displaystyle 2s-2c={a+b-c}}
(11) in (9) eingesetzt und neu geordnet
(12.1) 4 c 2 h c 2 = 2 s ( 2 s − 2 a ) ( 2 s − 2 b ) ( 2 s − 2 c ) {\displaystyle 4c^{2}h_{c}^{2}=2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}
(12.2) 4 c 2 h c 2 = 16 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle 4c^{2}h_{c}^{2}=16s(s-a)(s-b)(s-c)}
duch 16 geteilt
(13) c 2 h c 2 4 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\frac {c^{2}h_{c}^{2}}{4}}=s(s-a)(s-b)(s-c)}
die Dreiecksfläche ist
(14) F Δ = c ⋅ h c 2 {\displaystyle F_{\Delta }={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}}
quadriert
(15) F Δ 2 = c 2 h c 2 4 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle F_{\Delta }^{2}={\frac {c^{2}h_{c}^{2}}{4}}=s(s-a)(s-b)(s-c)}
daraus ergibt sich der Flächeninhalte des Dreicks
(16) F Δ = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle F_{\Delta }={\sqrt {s\left({s-a}\right)\left({s-b}\right)\left({s-c}\right)}}}
Beweis mit dem Kosinussatz
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Abbildung und Bezeichnungen siehe Skizze oben.
(1) F Δ = c ⋅ h c 2 {\displaystyle F_{\Delta }={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}}
(2) h c = b ⋅ sin α {\displaystyle h_{c}=b\cdot \sin \alpha }
(3) F Δ = b c ⋅ sin α 2 {\displaystyle F_{\Delta }={\frac {bc\cdot \sin \alpha }{2}}}
nach dem Kosinussatz gilt
(4) a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
aufgelöst nach cos α {\displaystyle \cos \alpha }
(5) cos α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt
(6) sin α = 1 − cos 2 α {\displaystyle \sin \alpha ={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}
(5) in (6) eingesetzt und erweitert
(7.1) sin α = ( 2 b c 2 b c ) 2 − ( b 2 + c 2 − a 2 2 b c ) 2 {\displaystyle \sin \alpha ={\sqrt {\left({\frac {2bc}{2bc}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}}}}
(7.2) sin α = 1 2 b c ( 2 b c ) 2 − ( b 2 + c 2 − a 2 ) 2 {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{2bc}}{\sqrt {(2bc)^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}}}
nach dem 3. binomischen Lehrsatz
(8) sin α = 1 2 b c ( 2 b c − b 2 − c 2 + a 2 ) ( 2 b c + b 2 + c 2 − a 2 ) {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{2bc}}{\sqrt {(2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2})(2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2})}}}
nach dem 2. und 1. binomischen Lehrsatz
(9) sin α = 1 2 b c [ a 2 − ( b − c ) 2 ] [ ( b + c ) 2 − a 2 ] {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{2bc}}{\sqrt {[a^{2}-(b-c)^{2}][(b+c)^{2}-a^{2}]}}}
nach dem 3. binomischen Lehrsatz
(10) sin α = 1 2 b c ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( b + c + a ) {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{2bc}}{\sqrt {(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}}}
s {\displaystyle s}
(11) s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
(12.1) 2 s = a + b + c {\displaystyle 2s={a+b+c}}
(12.2) 2 s − 2 a = − a + b + c {\displaystyle 2s-2a={-a+b+c}}
(12.3) 2 s − 2 b = a − b + c {\displaystyle 2s-2b={a-b+c}}
(12.4) 2 s − 2 c = a + b − c {\displaystyle 2s-2c={a+b-c}}
(12) in (10) eingesetzt und neu geordnet
(13) sin α = 1 2 b c 2 s ⋅ 2 ( s − a ) ⋅ 2 ( s − b ) ⋅ 2 ( s − c ) {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{2bc}}{\sqrt {2s\cdot 2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)}}}
(14) sin α = 2 b c s ⋅ ( s − a ) ⋅ ( s − b ) ⋅ ( s − c ) {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2}{bc}}{\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}
(14) in (3) eingesetzt
(15) F Δ = b c ⋅ sin α 2 = 2 b c 2 b c s ⋅ ( s − a ) ⋅ ( s − b ) ⋅ ( s − c ) {\displaystyle F_{\Delta }={\frac {bc\cdot \sin \alpha }{2}}={\frac {2bc}{2bc}}{\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}
(16) F Δ = s ⋅ ( s − a ) ⋅ ( s − b ) ⋅ ( s − c ) {\displaystyle F_{\Delta }={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}
Bestimmung der Abschnittslängen der Dreiecksseiten.
Der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Deshalb sind die dem Winkel anliegenden Abschnitte gleich lang (siehe Skizze).
(1) a = a 1 + a 2 {\displaystyle a=a_{1}+a_{2}}
(2) b = b 1 + b 2 {\displaystyle b=b_{1}+b_{2}}
(3) c = c 1 + c 2 {\displaystyle c=c_{1}+c_{2}}
(4) a 2 = b 1 {\displaystyle a_{2}=b_{1}}
(5) b 2 = c 1 {\displaystyle b_{2}=c_{1}}
(6) c 2 = a 1 {\displaystyle c_{2}=a_{1}}
s {\displaystyle s}
(7) s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
(1) bis (3) in (4) eingesetzt
(8) s = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 + c 1 + c 2 2 {\displaystyle s={\frac {a_{1}+a_{2}+b_{1}+b_{2}+c_{1}+c_{2}}{2}}}
( 4 ) bis ( 6 ) in (8) einfgesetzt
(9) s = a 1 + b 1 + b 1 + c 1 + c 1 + a 1 2 {\displaystyle s={\frac {a_{1}+b_{1}+b_{1}+c_{1}+c_{1}+a_{1}}{2}}}
(10) s = 2 a 1 + 2 b 1 + 2 c 1 2 {\displaystyle s={\frac {2a_{1}+2b_{1}+2c_{1}}{2}}}
(11) s = a 1 + b 1 + c 1 {\displaystyle s=a_{1}+b_{1}+c_{1}}
(12) b 1 = b − b 2 = b − c 1 {\displaystyle b_{1}=b-b_{2}=b-c_{1}}
(12) in (11) eingesetzt
(13) s = a 1 + b − c 1 + c 1 {\displaystyle s=a_{1}+b-c_{1}+c_{1}}
aufgelöst nach a 1 {\displaystyle a_{1}}
(14) a 1 = s − b {\displaystyle a_{1}=s-b}
(15) c 1 = c − c 2 = c − a 1 {\displaystyle c_{1}=c-c_{2}=c-a_{1}}
(15) in (11) eingesetzt
(16) s = a 1 + b 1 + c − a 1 {\displaystyle s=a_{1}+b_{1}+c-a_{1}}
aufgelöst nach b 1 {\displaystyle b_{1}}
(17) b 1 = s − c {\displaystyle b_{1}=s-c}
(18) a 1 = a − a 2 = a − b 1 {\displaystyle a_{1}=a-a_{2}=a-b_{1}}
(18) in (11) eingesetzt
(19) s = a − b 1 + b 1 + c 1 {\displaystyle s=a-b_{1}+b_{1}+c_{1}}
aufgelöst nach c 1 {\displaystyle c_{1}}
(19) c 1 = s − a {\displaystyle c_{1}=s-a}
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![{\displaystyle 4c^{2}h_{c}^{2}=\left[a^{2}-(b-c)^{2}\right]\left[-a^{2}+(b+c)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d9ff04b62275ba2944c0bc34ac1991e2df13e)
![{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{2bc}}{\sqrt {[a^{2}-(b-c)^{2}][(b+c)^{2}-a^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9abeec3900c72500203c8a33e7ff77c8726d81)
