Benutzer:Norbert Dragon/Lorentzkraft

3 Fälle der Bewegung einer Ladung, in einem Magnetfeld, das Senkrecht zur Flugbahn der Teilchen aus der Zeichenebene verläuft: Ein negativ geladenes Teilchen (q<0) wird nach oben, ein positiv geladenes (q>0) nach unten, ein neutrales (q=0) überhaupt nicht abgelenkt.

Die Lorentzkraft ist die Kraft, die elektromagnetische Felder auf eine bewegte elektrische Ladung ausüben. Sie ist nach Hendrik Antoon Lorentz benannt.

Die Lorentzkraft $\mathbf {F} (t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )\,,$ die auf eine elektrische Ladung $q$ ausgeübt wird, die zur Zeit $t$ mit Geschwindigkeit $\mathbf {v}$ den Ort $\mathbf {x}$ durchläuft, ist

$\mathbf {F} (t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=q\,{\bigl (}\mathbf {E} (t,\mathbf {x} )+\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t,\mathbf {x} ){\bigr )}\ .$

Dabei ist $\mathbf {E} (t,\mathbf {x} )$ die Elektrische Feldstärke und $\mathbf {B} (t,\mathbf {x} )$ die Magnetische Flussdichte zur Zeit $t$ am Ort $\mathbf {x}$. Das Zeichen $\times$ steht für das Vektorprodukt. Oft wird im engeren Sinn nur der Anteil der Kraft, der vom Magnetfeld bewirkt wird, $q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B}$, als Lorentzkraft bezeichnet.

Lorentzkraft auf eine Punktladung

Die vom Magnetfeld verursachte Lorentzkraft steht senkrecht auf den magnetischen Feldlinien und ist senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung. Sie lenkt die Ladung ab, ohne den Betrag ihrer Geschwindigkeit zu verändern. Denn mit Newtons Bewegungsgleichung folgt

${\frac {m}{2}}\,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} ^{2}}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot {\bigl (}\mathbf {v} \times \mathbf {B} {\bigr )}=0\,.$

Dasselbe Ergebnis gilt auch für relativistische Teilchen.

Da die Lorentzkraft proportional zur elektrischen Ladung ist, werden entgegengesetzt geladene Teilchen gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtung abgelenkt.

Der Betrag der Lorentzkraft ist

$|\mathbf {F} |=|q|\,|\mathbf {v} |\,|\mathbf {B} |\,\sin \alpha \,.$

Dabei bezeichnet $\alpha$ den Winkel zwischen der Geschwindigkeit $\mathbf {v}$ und dem Magnetfeld $\mathbf {B}$.

Wenn sich das Teilchen senkrecht zum Magnetfeld bewegt, gilt einfach $\sin \alpha =1$ und

$|\mathbf {F} |=|q|\,|\mathbf {v} |\,|\mathbf {B} |\,.$

Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Der elektrische Strom in einem Leiter besteht aus bewegten elektrischen Ladungen. Daher übt das Magnetfeld auf einen stromdurchflossenen Draht eine Kraft aus.

Betrachten wir ein gerades Stück Draht, in dem die Ladungsträger, durch ein elektrisches Feld angetrieben, überall mit gleicher Geschwindigkeit $\mathbf {v}$ in Richtung des Drahtes strömen. Dann durchlaufen sie in der Laufzeit $t$ das Drahtstück

$\mathbf {\ell } =\mathbf {v} \,t\,.$

Die Gesamtzahl der Ladungen, die in diesem Drahtstück den Strom bewirken, ist

$\sum q=I\,t\,.$

Denn innerhalb dieser Laufzeit verlassen alle Ladungen das Drahtstück und werden durch nachströmende ersetzt. Dabei bewirken sie den Strom $I$ durch einen Drahtquerschnitt.

Wegen $\sum q\,\mathbf {v} =I\,\mathbf {\ell }$ ist daher die Summe der Lorentzkräfte auf die Ladungen

$\mathbf {F} =\sum q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} =I\,\mathbf {\ell } \times \mathbf {B} \,,$

falls das Magnetfeld längs des Drahtstücks konstant ist.

Die Drei-Finger-Regel am Beispiel

Die entsprechende Betragsgleichung lautet:

$|\mathbf {F} |=I\,|\mathbf {\ell } |\,|\mathbf {B} |\,\sin \alpha \,,$

wobei $\alpha$ der Winkel zwischen dem Draht und dem Magnetfeld ist.

Die Richtung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel: zeigt der Daumen in Stromrichtung und der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der Lorentzkraft.

Als Eselsbrücke für die Frage, welcher Finger in wessen Richtung zeigt, hilft die Abkürzung FBI. Schaut man auf die Innenfläche der rechten Hand, bei der Daumen, Zeige- und Mittelfinger pistolenähnlich gespreizt sind, und benennt diese Finger im Uhrzeigersinn mit $F$, $B$ und $I\,,$ dann zeigt der Finger $F$ in Richtung der Kraft, wenn $B$ in Richtung des Magnetfeldes und $I$ in Richtung des Stromes zeigen.

Wirkungsprinzip

Die Lorentzkraft ergibt sich in der Lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens mit Ladung $q$ und Masse $m$ aus der Lagrangefunktion

$L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\,(\Phi +\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} )\ .$

Hierbei sind $\Phi (t,\mathbf {x} )$ und $\mathbf {A} (t,\mathbf {x} )$ das skalare Potential und das Vektorpotential, die zu der elektrischen Feldstärke

$\mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \Phi$

und der magnetischen Feldstärke

$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$

gehören.

Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0\ .$

Im vorliegenden Fall lauten sie

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\,(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\ .$

Dabei ist

$\mathbf {p} ={\frac {m\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

der Impuls des Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit $\mathbf {v}$ bewegt.

Anwendungen

Technisch angewandt wird die Lorentzkraft

• im Elektromotor und im Generator
• im Ablenkmagnet zur Fokussierung von Elektronenstrahlen (zum Beispiel in der Kathodenstrahlröhre und im Synchrotron)
• im Wienfilter
• im Hallsensor (siehe auch Hall-Effekt) und Drehspulmesswerk
• in jedem elektrodynamischen Wandler, zum Beispiel im Lautsprecher.

Auch die Ablenkung des Sonnenwinds durch das Magnetfelder der Erde beruht auf der Lorentzkraft.

Siehe auch

• Induktionsgesetz
• Maxwellsche Gleichungen

Weblinks

• 

  Commons: Lorentzkraft – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
• Wiktionary: Lorentz-Kraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
• Java-Applet zum Experimentieren mit der Lorentzkraft
• Ein weiteres Modell, bei dem $q$, $v$ und $B$ variiert werden können
• Versuche und Aufgaben zur Lorentzkraft
• Flash-Animation zum Leiterschaukel-Versuch (dwu-Unterrichtsmaterialien)
• Youtube-Film: Wasser fließt bergauf mit Lorentzkraft