Es wird gezeigt, dass
u
(
t
)
=
S
(
t
)
u
0
+
∫
0
t
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
d
r
=
S
(
t
)
u
0
{\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}+\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr=S(t)u_{0}}
S
(
t
)
=
e
x
p
(
−
t
A
)
{\displaystyle S(t)=exp(-tA)}
u
(
0
)
=
S
(
0
)
u
0
=
e
x
p
(
0
)
u
0
=
u
0
{\displaystyle u(0)=S(0)u_{0}=exp(0)u_{0}=u_{0}}
Damit ist die Anfangswertbedingung erfüllt.
u
t
+
A
u
=
0
<=>
u
t
=
−
A
u
{\displaystyle u_{t}+Au=0<=>u_{t}=-Au}
u
t
=
(
e
x
p
(
−
t
A
)
u
0
)
′
=
−
A
e
x
p
(
−
t
A
)
u
0
=
−
A
S
(
t
)
u
0
=
−
A
u
{\displaystyle u_{t}=(exp(-tA)u_{0})'=-Aexp(-tA)u_{0}=-AS(t)u_{0}=-Au}
Damit ist auch die Evolutionsgleichung erfüllt und die Behauptung ist bewiesen.
Sei D aus R ^n mit n aus N \{1} und {S(t), t>=0} die Stokes-Untergruppe von D. Dann gilt für
u
(
t
)
=
S
(
t
)
u
0
{\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}
u ist stetig
u' existiert und ist stetig
|
|
u
(
t
)
|
|
2
<=
|
|
u
′
(
t
)
|
|
2
{\displaystyle ||u(t)||_{2}<=||u'(t)||_{2}}
Im inhomogenen Fall muss gezeigt werden, dass
u
(
t
)
=
S
(
t
)
u
0
+
∫
0
t
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
d
r
{\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}+\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr}
u
t
+
A
u
=
f
{\displaystyle u_{t}+Au=f}
u
(
0
)
=
u
0
{\displaystyle u(0)=u_{0}}
Da der Term
S
(
t
)
u
0
{\displaystyle S(t)u_{0}}
u
0
=
0
{\displaystyle u_{0}=0}
=> es wird
u
(
t
)
=
∫
0
t
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
d
r
{\displaystyle u(t)=\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr}
Offensichtlich ist u(0)=0.
Es muss also nur noch die Evolutionsgleichung
u
t
+
A
u
=
f
{\displaystyle u_{t}+Au=f}
u
t
=
−
A
u
+
f
{\displaystyle u_{t}=-Au+f}
I .
(
I
f
)
(
t
)
=
∫
0
t
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
d
r
{\displaystyle (If)(t)=\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr}
Mit dem Satz von Fubini und (S(t-r)w)'=-AS(t-r)w wird erhalten:
−
∫
0
T
<
u
(
t
)
,
w
>
p
′
(
t
)
d
t
=
−
∫
0
T
∫
0
t
<
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
,
w
>
p
′
(
t
)
d
r
d
t
{\displaystyle -\textstyle \int _{0}^{T}<u(t),w>p'(t)dt=-\textstyle \int _{0}^{T}\textstyle \int _{0}^{t}<S(t-r)f(r),w>p'(t)drdt}
=
−
∫
0
T
(
∫
r
t
<
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
,
w
>
p
′
(
t
)
d
t
)
d
r
{\displaystyle =-\textstyle \int _{0}^{T}(\textstyle \int _{r}^{t}<S(t-r)f(r),w>p'(t)dt)dr}
=
−
∫
0
T
(
<
S
(
T
−
r
)
f
(
r
)
,
w
>
p
(
T
)
−
<
f
(
r
)
,
w
>
p
(
r
)
−
∫
r
t
<
(
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
)
′
,
w
>
p
(
t
)
d
t
)
d
r
{\displaystyle =-\textstyle \int _{0}^{T}(<S(T-r)f(r),w>p(T)-<f(r),w>p(r)-\textstyle \int _{r}^{t}<(S(t-r)f(r))',w>p(t)dt)dr}
=
∫
0
T
<
f
(
r
)
,
w
>
p
(
r
)
d
r
−
∫
0
T
(
∫
r
t
<
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
,
A
w
>
p
(
t
)
d
t
)
d
r
{\displaystyle =\textstyle \int _{0}^{T}<f(r),w>p(r)dr-\textstyle \int _{0}^{T}(\textstyle \int _{r}^{t}<S(t-r)f(r),Aw>p(t)dt)dr}
=
∫
0
T
<
f
(
t
)
,
w
>
p
(
t
)
d
t
−
∫
0
T
(
∫
0
t
<
S
(
t
−
r
)
f
(
r
)
,
A
w
>
d
r
)
p
(
t
)
d
t
{\displaystyle =\textstyle \int _{0}^{T}<f(t),w>p(t)dt-\textstyle \int _{0}^{T}(\textstyle \int _{0}^{t}<S(t-r)f(r),Aw>dr)p(t)dt}
=
∫
0
T
<
f
(
t
)
,
w
>
p
(
t
)
d
t
−
∫
0
T
<
(
I
f
)
(
t
)
,
A
w
>
p
(
t
)
d
t
{\displaystyle =\textstyle \int _{0}^{T}<f(t),w>p(t)dt-\textstyle \int _{0}^{T}<(If)(t),Aw>p(t)dt}
=
∫
0
T
<
f
(
t
)
−
(
I
f
)
(
t
)
,
A
w
>
p
(
t
)
d
t
{\displaystyle =\textstyle \int _{0}^{T}<f(t)-(If)(t),Aw>p(t)dt}
=>
d
/
d
t
<
u
(
t
)
,
w
>=<
f
(
t
)
−
A
(
I
f
)
(
t
)
,
w
>
{\displaystyle d/dt<u(t),w>=<f(t)-A(If)(t),w>}
=>
u
′
=
f
−
A
(
I
f
)
=
f
−
A
u
{\displaystyle u'=f-A(If)=f-Au}
Somit ist die Behauptung bewiesen.
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichungen]]
