Benutzer:Jpascher/Eigenform

Die Eigenform, Eigenschwingungsform, Eigenschwingform oder Moden (von engl. mode -s, dort vom lat. modus), auch Schwingungsmoden und wird in der Akustik überwiegend Raummoden genannt. Diese beschreibt vorwiegend stationären Eigenschaften der stehenden Wellen mit einer Eigenfrequenz z. B. in einer Pfeife, einem Hohlraumresonator oder auf einer Saite. Bei Hohlleitern, Laserstrahlen oder Glasfaserkabeln, werden damit aber auch fortlaufende Wellen hinsichtlich ihrer Energieverteilung, in verschieden Richtungen beschrieben.

Da die Angabe von Moden auch zur Beschreibung fortlaufender Wellen benutzt wird, hebt sich der Begriff von Normalschwingungen ab, die sich nur auf stehende Wellen oder oszillierende Systeme beziehen.

Die Wellen können akustisch (Schall, Körperschall, Schwingquarz) oder elektromagnetisch (Funkwellen, Mikrowellen, Laserstrahl, Licht) sein.

Vibration einer kreisförmigen Scheibe in zwei Dimensionen. Die Scheibe vibriert in einem single mode. Siehe andere Modi.

Die Eigenform ist die geometrische Form, mit der ein Körper während einer Eigenschwingung schwingt und die er bei der größten Auslenkung annimmt. Die Schwingung pendelt dabei zwischen zwei gegensätzlichen Auslenkungszuständen. Die Eigenform zeigt also, wo sich die Schwingung als Schwingungsbauch stark auswirkt, und wo sie sich als Schwingungsknoten schwach auswirkt.

In diesem Zustand wandert die Welle nicht mehr durch die Struktur, sondern hat feste Bäuche (Maxima) und Knoten (Minima). Maxima sind die Amplituden der Schwingung und Knoten deren Nullstellen. Das heißt, an der Stelle, an der ein Knoten auftritt, ist keine Änderung zur Nulllage (keine Auslenkung) zu erkennen.
In eindimensionalen Strukturen ist die Anzahl der Knoten um eins niedriger als die Nummer der Eigenfrequenz.

Die Form, mit der ein Festkörper schwingt, wird durch die Eigenfunktion beschrieben.

Körper können mit verschiedenen Eigenfrequenzen schwingen und bei jeder Frequenz gibt es eine charakteristische Eigenschwingungsform, die auch kurz „Eigenform“ oder „Mode“ genannt wird. Die Frequenzen und Eigenschwingungsformen werden nach ihrer Ordnungszahl (Nummer) benannt, also:

Die erste Eigenschwingungsform oder Grundform stellt sich bei einer Schwingung mit der ersten Eigenfrequenz, bei der Grundfrequenz ein.
Die zweite Eigenschwingungsform schwingt mit der zweiten Eigenfrequenz.
usw.

Im Falle einer Saite oder Stimmgabel macht sich das durch Schallabstrahlung in hörbaren Tönen bemerkbar. Die erste Eigenschwingung erzeugt den Grundton, die höheren Eigenschwingungen werden auch als Obertönen bezeichnet. Eigenschwingungen treten praktisch niemals isoliert auf. Stattdessen schwingt ein Körper in allen seinen Moden gleichzeitig, die aber unterschiedlich stark angeregt sind. Bei einer Saite wird üblicherweise der Grundton am stärksten angeregt und weitere Eigenschwingungen haben einen geringeren Anteil. Durch spezielle Anschlagtechniken oder Spieltechniken lassen sich aber auch höhere Eigenschwingungen bevorzugt anregen.

Eigenfrequenzen und dazugehörige Moden eines Körpers sind abhängig von dessen Lagerung bzw. Einspannung und den physikalischen Eigenschaften und Abmessungen. Der einfachste Fall ist vereinfacht bei den meisten Musikinstrumenten gegeben, bei denen bevorzugt nur eine eindimensionale Schwingung mit Harmonischen vorkommt. Bei Membranen, Platten, Stäben und Hohlräumen, gibt es im Normalfall jedoch mehrere Freiheitsgrade was zu einer mehrdimensionalen Zusammensetzung der möglichen Frequenzen und deren Schwingungsformen führt. Einseitig eingespannte Schwinger weichen bereits bei einem Freiheitsgrad stark von dem ganzzahligen Vielfachen bei Harmonischen ab.

Praktisches Beispiel Bearbeiten

Die erste Eigenform eines Lineals erhält man, wenn man ein Ende auf einen Tisch legt und festhält und auf das andere Ende drückt und loslässt. Das Lineal schwingt sichtbar in seiner ersten Eigenfrequenz für diese Anordnung.

Hohlraum - Raummoden in der Akustik Bearbeiten

Hohlraummoden in der Akustik Bearbeiten

Der einseitig geschlossene Hohlraumresonator unter der Stimmgabel ist abgestimmt auf 1/4 der Wellenlänge (19 cm bei 440 Hz) und verstärkt die Lautstärke erheblich.

Helmholtz-Resonator aus Messing von ca. 1900

Akustische Hohlraumresonatoren sind z. B. der Helmholtz-Resonator oder das Kundtsche Rohr, sie spielen aber auch bei Lautsprecherboxen (Bassreflexbox) und bei Blasinstrumenten und Orgelpfeifen eine große Rolle. Beim Helmholtz-Resonator und bei Bassreflexboxen unterliegen die Grundresonanzen anderen Gesetzen; hier schwingt die Luftmasse im Hals bzw. im Bassreflexrohr gegen die Elastizität des Volumens, die Grundresonanzen sind niedriger als es die geometrischen Abmessungen erwarten lassen.

In der Akustik spielen beidseitig und einseitig offene sowie geschlossene Hohlraumresonatoren eine große Rolle. Beidseitig offene Rohre besitzen ihre Grundresonanz bei der halben Schallwellenlänge.

Einseitig offene Rohre besitzen ihre Grundresonanz bei einem Viertel der Schallwellenlänge:

gedackte Orgelpfeifen, Posaunen, Trompeten; hier sind ungeradzahlige Oberwellen bzw. geradzahlige Harmonische anregbar.

Geschlossene Resonatoren:

Resonanzen in geschlossenen Räumen: Während kleine Räume ausgesprochen diskrete Eigenfrequenzen aufweisen, überlagern sich bei großen Räumen (z.B. Kirchen) alle Moden zu einem Kontinuum - es tritt Hall auf. Bei Räumen spiegeln die Raummoden wie der Klang eines Raums verfärbt wird, weil bestimmte Töne besonders hervortreten und eine ungleichförmige Energieverteilung innerhalb des Raums haben. Treten diskrete Resonanzfrequenzen auf, so sind diese auffälliger, als wenn mehrere Resonanzen gleichmäßig im Spektrum verteilt sind (Nachhall).

Eine bestimmte Resonanzfrequenzverteilung ist eine physikalische Eigenschaft des Raumes, die von seinen Abmessungen abhängig ist. Nur bestimmte Frequenzen werden angeregt. Bei diesen Resonanzeffekten spielt sowohl der erhöhte Pegel als auch die zeitliche Fortdauer des Tons eine Rolle.

Eine stehende Welle. Wie man hier erkennen kann, erscheint an den Enden (der Raumbegrenzung) jeweils als Maximum ein Druckbauch.

Oberhalb etwa 300 Hz (Schröderfrequenz) verursachen akustische Moden des Raums in Wohnräumen keine hörbaren Verzerrungen der Wiedergabe, weil die Moden in Form von dichten Reflexionen und Nachhall ineinander übergehen. Unterhalb von 300 Hz können sie dagegen eine wahrnehmbare Klangverfärbungen bewirken. Da diese die besonders tiefen Töne betreffen, wird dies als Dröhnen, Booming, oder Ein-Noten-Bass empfunden. Die Amplitude einer akustischen Mode hängt von der Position im Raum ab. Der Grad der Verfärbung ist daher von Ort zu Ort verschieden.

Es gibt in der Akustik drei Arten stehender Moden, die in einem typischen (quaderförmigen) Hörraum vorkommen. Dieses sind axiale (longitudinale), tangentiale und diagonale Moden (auch Obligue- oder Schrägmoden genannt). Weil die axialen Moden deutlich dominieren, sind diese besonders wichtig.

Um für einen Rechteckraum axiale, oblique und tangentiale Moden in ihrer Frequenz zu berechnen, wird folgende Formel verwendet:

f={\frac {c_{S}}{2}}{\sqrt {\left({\frac {n_{x}}{L}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{z}}{H}}\right)^{2}}}\,

Hierbei ist:

$f$ die Frequenz der Mode in Hz
$c_{S}$ die Schallgeschwindigkeit 343 m/s
$n_{x}$ die Ordnung der Mode Raumlänge
$n_{y}$ die Ordnung der Mode Raumbreite
$n_{z}$ die Ordnung der Mode Raumhöhe
$L$ , $B$ , $H$ sind Länge, Breite und Höhe des Raums in Meter

Licht und Laser Moden Bearbeiten

In einem Laser, wird Licht einer bestimmten Frequenz in einem Hohlraumresonator verstärkt, der gewöhnlich aus einer Anordnung aus zwei oder – bei gefaltetem Resonator – aus mehreren Spiegeln besteht. Hier wie auch beim Fabry-Pérot-Interferometer läuft das Licht nur in einer Richtung zwischen den Spiegeln hin- und her. Die Eigenresonanzen heißen beim Laser Longitudinalmoden. Liegen mehrere dieser Moden innerhalb des Verstärkungsbereiches des aktiven Mediums des Lasers, kann dieser zugleich oder wahlweise auf einer dieser diskreten Moden bzw. Frequenzen arbeiten. Bei der Modenkopplung (mode locking) sind mehrerer dieser Moden synchronisiert und überlagern sich zu einem hin- und herlaufenden Impuls.

Elektromagnetische Moden Bearbeiten

Bei Elektromagnetische Wellen, wie Licht, Laser und Funkwellen, werden die folgenden Typen von Moden unterschieden:

TEM- oder Transversal-Elektromagnetische Mode: Sowohl die elektrische, als auch die magnetische Feldkomponente stehen stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Diese Mode ist nur ausbreitungsfähig, wenn entweder
- zwei voneinander isolierte Leiter (Äquipotentialflächen) zur Verfügung stehen, beispielsweise in einem Koaxialkabel oder
- kein elektrischer Leiter vorhanden ist, beispielsweise in Gas-Lasern oder Lichtwellenleitern.
TE- oder H-Moden: Nur die elektrische Feldkomponente steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, während die magnetische Feldkomponente in Ausbreitungsrichtung zeigt.
TM- oder E-Moden: Nur die magnetische Feldkomponente steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, während die elektrische Feldkomponente in Ausbreitungsrichtung zeigt.

Die letzten beiden Modentypen haben besonders in Hohlleitern Bedeutung.

TEM-Wellen sind in ihrer Frequenz nicht beschränkt, das heißt sie sind über das gesamte Frequenzspektrum ausbreitungsfähig. TM- und TE-Wellen hingegen sind nur ab einer bestimmten, von der Geometrie des Leiters abhängigen Frequenz (cut-off-Frequenz) ausbreitungsfähig. Folglich können bei einer festen Frequenz auch mehrere Moden gleichzeitig ausbreitungsfähig sein. In der Datenübertragung ist dieser Zustand jedoch unerwünscht, da Signalintegrität, das heißt dispersionsarmer Betrieb von Wellenleitern, nur bei Modenreinheit gewährleistet werden kann. Wellenleiter (also z. B. Kabel oder Hohlleiter) können also nur bis zur cut-off-Frequenz der ersten höheren Mode sinnvoll zur Signalübertragung verwendet werden.

Oberflächenmoden Bearbeiten

Wasser Bearbeiten

Bei Wasserwellen und anderen Oberflächenwellen (Schwerewellen bzw. Rayleigh-Wellen) kann in ähnlicher Weise von einem zweidimensionalen Resonator gesprochen werden, wenn die Flächen reflektierend begrenzt sind. Für Tideresonanz stellt die in einer Bucht schwingfähige Wassermasse einen sogenannten Beckenresonator dar; siehe auch Beckenschwingung, Seiche. Bei Wellenresonanzen können vom erregenden Wellenspektrum gleichzeitig mehrere Eigenfrequenzen einer zwischen der Küste und vorgelagerten Riffen schwingfähigen Wassermasse getroffen werden, sodass dieselbe Wassermasse unterschiedliche Beckenresonanzen ausführt.

Festkörper Bearbeiten

Verschiedene akustische Schwingungsmoden in Festkörpern treten beispielsweise in Schwingquarzen, Oberflächenwellenfiltern, keramische Resonatoren, in Glocken, Gongs, Klangstäben, Triangeln usw. auf. Alle diese Körper können neben der Grundresonanzfrequenz auch in höheren Schwingungsmoden angeregt werden bzw. weisen aufgrund der unterschiedlichen Zusammensetzung ihrer Schwindungsmoden einen bestimmten Klangcharakter auf. In Festkörpern können aufgrund des vorhandenen Schubmoduls auch transversale Wellen- und Schwingungsmoden auftreten.

Die Form von Gehäusen und Maschinenteilen bestimmt, welche Schwingungsmoden im Betrieb besonders angeregt werden. Durch geeignete, eher unregelmässsige Formgebung kann die Ausbildung von Schwingungsmoden, die auf Formsymmetrien beruhen, vermieden werden. Schallabstrahlung und Ermüdung durch Schwingungen kann so reduziert werden.

Membrane Bearbeiten

Eine eingespannte Fläche wie bei einer Trommel zeigt sehr viele unterschiedliche Schwingungsmoden. Diese Partialschwingungen führen bei Lautsprechern zu Unregelmäßigkeiten im Frequenzgang.