Benutzer:Hiko/horo

Das Peres–Horodecki Kriterium (oder englisch positive partial transpose criterion (PPT criterion)) für die zusammengesetzte Dichtematrix $\rho$ zweier quantenmechanischen Systeme $A$ und $B$ ist eine notwendige Bedingung zur Bestimmung ihrer Separabilität. Im Falle von 2x2 und 2x3 Dimensionen ist die Bedingung ausserdem hinreichend. Separabilität wird verwendet um festzustellen, ob ein Quantenzustand rein oder gemischt ist und wenn die Schmidt-Zerlegung nicht angewendet werden kann.

In höherdimensionalen Räumen ist das Kriterium nicht eindeutig und weitere Methoden müssen zur Hand genommen werden.

Definition

Gegeben wir haben einen allgemeinen, gemischten Zustand $\rho _{AB}$ der auf ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$ wirkt, dann gilt

$\rho _{AB}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$.

Die bezüglich $B$ partiell transponierte Matrix wird definiert als

$\rho _{AB}^{T_{B}}:=I\otimes T(\rho _{AB})=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$.

Partiell bedeutet in diesem Fall, dass nur ein Teil des Zustandes transponiert wird. Im Ausdruck $I\otimes T(\rho )$ wird ersichtlich, dass der Einheitsoperator $I$ auf $A$ wirkt und ihn somit unverändert lässt, und die Transposition $T$ auf $B$ wirkt.

Das Peres–Horodecki Kriterium besagt, dass falls $\rho _{AB}$ separabel ist, dann wird $\rho _{AB}^{T_{B}}$ positiv semidefinit sein, d. h. nur non-negative Eigenwerte haben. Umgekehrt bedeutet das, dass falls $\rho _{AB}$ negative Eigenwerte besitzt, ist das System verschränkt. Im Allgemeinen kommt es nicht darauf an, ob system $B$ transponiert wird, wie im Beispiel, oder $A$ mit $\rho _{AB}^{T_{A}}$.

Beispiel

Die Qubit Familie der Werner Zustände werden betrachtet:

$\rho _{AB}=p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}$

Die Dichtematrix lautet

$\rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}$

und die partiell transponierte Matrix

$\rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}$.

Der niedrigste Eigenwert ist $(1-3p)/4$. Daraus folgt, dass der Zustand für $p>1/3$ verschränkt ist.

References

• Asher Peres, Separability Criterion for Density Matrices, Phys. Rev. Lett. 77, 1413–1415 (1996)
• Michał Horodecki, Paweł Horodecki, Ryszard Horodecki: Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. 223. Jahrgang, S. 1–8, doi:10.1016/s0375-9601(96)00706-2. 
• Karol Życzkowski and Ingemar Bengtsson, Geometry of Quantum States, Cambridge University Press, 2006
• S. L. Woronowicz: Positive maps of low dimensional matrix algebras. In: Rep. Math. Phys. 10. Jahrgang, 1976, S. 165–183, doi:10.1016/0034-4877(76)90038-0. 

Category:Quanteninformatik