Beweis für die Konstruierbarkeit mittels Winkeldreiteilung

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Konstruktion mit Tomahawk (rot)

Der Beleg erfolgt mit Hilfe der komlpexen Rechnung. Im Einheitskreis ist die X-Koordinate von B der Cosinus des Zentriwinkels  

Der Punkt

 

erfüllt die Kreisteilungsgleichung

 

Hierbei sind die Realteile von B und B^6 , B^2 und B^5 sowie B^3 und B^4 gleich. Es gilt also

 
 
 

Mit den Additionstheoremen

 

und

 

ergibt sich:

 

zusammen mit  :

 
 
 

Der Kosinus des Zentriwinkels ist also eine Lösung dieser Gleichung.

Lösung der Gleichung mit den Cardanischen Formeln

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oder

 

mit

  ,   ,  

Substitution  :

 

mit

      und      

ergibt sich

 

Aus

 

und der Substitution   ergibt sich:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 



Zweiter Ansatz

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Nachweis: Nimmt man für den Radius des Umkreises das sechsfache einer frei wählbaren Längeneinheit, so ist  . Das entspricht auch  . Für die Höhe der gleichseitigen Dreiecks \triangle{QKR} gilt  . Mit   ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras  . Des Weiteren gilt noch:

 

und

 

Benennen wir den Zentriwinkel mit   so gilt:


Die Konstruktion ist richtig, wenn

  bzw.  

richtig ist. Dann wäre

  (GL1)

Es sei   eine siebte Wurzel aus 1 und  . Dann gilt

 
 

Damit ist   eine Lösung von   und   (rechte Seite der zu prüfenden Gleichung).

Mit der Substitution   ergibt sich

 

Mit der Substitution   ergibt sich

  mit  

Einsetzen in die linke Seite von GL1: