Beweis für die Konstruierbarkeit mittels Winkeldreiteilung
BearbeitenDer Beleg erfolgt mit Hilfe der komlpexen Rechnung. Im Einheitskreis ist die X-Koordinate von B der Cosinus des Zentriwinkels
Der Punkt
erfüllt die Kreisteilungsgleichung
Hierbei sind die Realteile von B und B^6 , B^2 und B^5 sowie B^3 und B^4 gleich. Es gilt also
Mit den Additionstheoremen
und
ergibt sich:
zusammen mit :
Der Kosinus des Zentriwinkels ist also eine Lösung dieser Gleichung.
Lösung der Gleichung mit den Cardanischen Formeln
Bearbeitenoder
mit
- , ,
Substitution :
mit
- und
ergibt sich
Aus
und der Substitution ergibt sich:
|
|
Zweiter Ansatz
BearbeitenNachweis: Nimmt man für den Radius des Umkreises das sechsfache einer frei wählbaren Längeneinheit, so ist . Das entspricht auch . Für die Höhe der gleichseitigen Dreiecks \triangle{QKR} gilt . Mit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras . Des Weiteren gilt noch:
und
Benennen wir den Zentriwinkel mit so gilt:
Die Konstruktion ist richtig, wenn
- bzw.
richtig ist. Dann wäre
- (GL1)
Es sei eine siebte Wurzel aus 1 und . Dann gilt
Damit ist eine Lösung von und (rechte Seite der zu prüfenden Gleichung).
Mit der Substitution ergibt sich
Mit der Substitution ergibt sich
- mit
Einsetzen in die linke Seite von GL1: