Benutzer:Antonsusi/Gemischt-goniometrische Gleichung

Kreissegment. Die Frage, bei welchem Winkel das Verhältnis von Bogen zur Sehne einen bestimmten Wert hat, führt zu einer gemischt-goniometrischen Gleichung

Eine gemischt-goniometrische Gleichung ist eine Gleichung, welche die unabhängige Größe sowohl direkt als auch als Argument einer trigonometrischen Funktion enthält. Beispiel:

Bei einem Kreissegment gilt für die Kreissehne $s=2r\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ und für den Kreisbogen $b=r\cdot \alpha$

Also gilt für das Verhältnis beider Längen $q={\frac {b}{s}}={\frac {\alpha }{2\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}$, dass es nur vom Mittelpunktswinkel abhängt. die Gleichung $q={\frac {\alpha }{2\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}$ ist gemischt-goniometrisch.

Lösungen

Wird die gemischt verwendete Größe (im Beispiel der Mittelpunktswinkel $\alpha$) gesucht, so kann man die Gleichung im allgemeinen nicht explizit lösen und muss auf numerische Verfahren zurückgreifen. Im Beispiel mit dem Kreissegment bietet sich das Newton-Verfahren an, indem man damit die Nullstelle der Funktion

$f(x)={\frac {\alpha }{2\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}-q$

sucht.