In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum .

DefinitionBearbeiten

Im Folgenden bezeichne   den Linksshift

 

und   die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional  , das die folgenden Eigenschaften besitzt:

  •  
  • für alle   gilt
    •  
    • falls   für alle  , so ist auch  

EigenschaftenBearbeiten

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass   den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen   definiert ist, nach   fortsetzt:

  für  

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

 

Aufgrund der Linearität von   und der Invarianz unter   ist der Banachgrenzwert von   gleich  .

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus  , das nicht von der Gestalt

 

ist.

LiteraturBearbeiten