Das Axiom der Determiniertheit (abgekürzt mit AD) besagt, dass für bestimmte Spiele unendlicher Länge immer eine Gewinnstrategie existiert, der Gewinner also determiniert ist. Vor dem Hintergrund der üblichen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) ist es nicht mit dem Auswahlaxiom verträglich. Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt die Existenz gewisser unerreichbarer Kardinalzahlen in bestimmten Modellen. Da auf Grund des zweiten gödelschen Unvollständigkeitssatzes nicht gezeigt werden kann, dass die Annahme der Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen konsistent ist, kann auch nicht gezeigt werden, dass das Axiom der Determiniertheit konsistent ist. Das Axiom der Determiniertheit ist äquikonsistent zu der Existenz unendlich vieler Woodin-Kardinalzahlen.

Unendliche Spiele wurden zuerst 1930 von Stanisław Mazur und Stefan Banach untersucht. Das Axiom der Determiniertheit wurde 1962 von Jan Mycielski und Hugo Steinhaus eingeführt.

Unendliche Spiele

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  ist die Menge aller unendlichen Folgen natürlicher Zahlen, der Baire-Raum. Ist   eine Teilmenge von  , so definiert   ein Spiel   zwischen zwei Spielern, die mit 1 und 2 bezeichnet seien: 1 beginnt und wählt eine natürliche Zahl  , dann wählt 2 eine Zahl  , anschließend wählt 1 wieder eine Zahl   und so weiter. Nach unendlich vielen Wahlen entsteht eine Folge  . Liegt diese Folge in  , so hat Spieler 1 gewonnen, im anderen Fall Spieler 2.

Eine Strategie eines Spielers ist eine Regel, die einen Zug (abhängig von der endlichen Folge der bereits gewählten Zahlen) festlegt. Die Menge der endlichen Folgen wird mit   notiert. Somit ist eine Strategie eine Funktion  . Eine Strategie ist eine Gewinnstrategie, wenn der Spieler, der ihr folgt, immer gewinnt. Das Spiel   ist determiniert, wenn es für einen der beiden Spieler eine Gewinnstrategie gibt.

Das Axiom der Determiniertheit sagt, dass das Spiel   für jede Teilmenge   von   determiniert ist.

Formale Definitionen

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Um obigen eher informellen Zugang zu formalisieren, geht man von einer Strategie der Spielpartner aus. Spieler 1 bestimmt die erste Zahl der Folge, die dritte, die fünfte und so weiter. Eine Strategie für den Spieler 1 ist daher eine Funktion

 .

Ist also   eine solche Funktion, so spielt Spieler 1 zuerst  . Spielt dann Spieler 2 im nächsten Zug  , so spielt Spieler 1 anschließend   und so weiter.

Die Zugfolge, die durch die von Spieler 1 festgelegte Strategie   und die von Spieler 2 gewählten Züge   bestimmt ist, wird mit   bezeichnet.

  ist nun für Spieler 1 im Spiel   eine Gewinnstrategie, wenn er immer gewinnt, wenn also  .

Analog wird eine Gewinnstrategie für Spieler 2 definiert.

Das Axiom der Determiniertheit lautet nun:

  • Ist   eine Teilmenge von  , so besitzt entweder Spieler 1 oder Spieler 2 für das Spiel   eine Gewinnstrategie.

AD und das Auswahlaxiom

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Da die Mächtigkeit aller Strategien   ist, kann man mit dem Auswahlaxiom durch ein Diagonalargument zeigen, dass es eine Menge   gibt, sodass   nicht determiniert ist. Dazu konstruiert man   so, dass es sämtliche Strategien beider Spieler widerlegt:

  • Zu jeder Strategie   von Spieler 2 wählt man eine Antwort   von Spieler 1 und definiert diesen Ausgang als Gewinn für Spieler 1, d. h.  .
  • Weiterhin wählt man für jede Strategie von Spieler 1 eine Antwort   des zweiten Spielers und legt fest, dass für die entstehende Zugfolge   gilt.

Damit die Menge   widerspruchsfrei definiert werden kann, dürfen sich die gewählten Folgen nicht wiederholen. Das ist möglich, da mit dem Auswahlaxiom eine Wohlordnung von   (der Menge der Strategien) existiert. Die Konstruktion lässt sich als transfinite Induktion über die Menge aller Strategien der beiden Spieler durchführen.

Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt, dass jede abzählbare Familie nichtleerer Mengen reeller Zahlen eine Auswahlfunktion besitzt.

Da sich die Menge   eineindeutig auf den Raum   abbilden lässt, ist dafür zu zeigen, dass jede abzählbare Familie nicht leerer Mengen   eine Auswahlfunktion besitzt. Das Spiel zu dieser Familie wird nun wie folgt definiert: Wenn der Spieler 1 als erstes die Zahl   wählt, so gewinnt Spieler 2 genau dann, wenn die Folge der von ihm gewählten Zahlen   in   liegt. Liegt   in  , so ist die Strategie, diese Zahlen der Reihe nach zu wählen, eine Gewinnstrategie für den Spieler 2 zwar nur für den Fall, dass Spieler 1 am Anfang   wählt. Aber das zeigt, dass Spieler 1 keine Gewinnstrategie haben kann. Nimmt man das Axiom der Determiniertheit an, so muss also Spieler 2 eine Gewinnstrategie haben. Aus dieser Strategie lässt sich eine Auswahlfunktion gewinnen: Für   wählt man die Folge, die Spieler 2 spielt, wenn Spieler 1   spielt.

Folgerungen

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  • Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt, dass   unerreichbar in   für jedes   ist.

Lebesgue-Messbarkeit

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Mit dem Auswahlaxiom können nicht-Lebesgue-messbare Mengen konstruiert werden, zum Beispiel Vitali-Mengen. Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt hingegen:

  • Jede Menge reeller Zahlen ist Lebesgue-messbar.
  • Jede Menge reeller Zahlen hat die Baire-Eigenschaft
  • Jede überabzählbare Menge reeller Zahlen enthält eine perfekte Teilmenge

Messbare Kardinalzahlen

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Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt, dass messbare Kardinalzahlen existieren.

  •   ist eine messbare Kardinalzahl und der Filter der Club-Mengen ist ein Ultrafilter
  •   ist eine messbare Kardinalzahl.

Konsistenz von AD

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Seit den frühen 1970er Jahren wurde angenommen, dass AD ein Axiom über große Kardinalzahlen ist. Es konnte später dann unter der Voraussetzung der Existenz unendlich vieler Woodin-Kardinalzahlen mit einer messbaren Kardinalzahl über ihnen bewiesen werden, dass es ein inneres Modell gibt, in dem das Axiom der Determiniertheit gilt.

W. Hugh Woodin zeigte, dass folgende Theorien äquikonsistent sind:

  • ZFC + Es gibt unendlich viele Woodin Kardinalzahlen
  • ZF + AD

Ähnliche Axiome

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  • Das Axiom der reellen Determiniertheit   sagt aus, dass auch jedes Spiel determiniert ist, wenn die Spieler statt natürlichen Zahlen reelle Zahlen wählen dürfen. Dieses Axiom ist echt stärker als AD.
  • Das Axiom der projektiven Determiniertheit wiederum fordert die Determiniertheit nur für Gewinnmengen, die eine projektive Teilmenge des Baire-Raumes ist.

Literatur

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