Ein asymptotischer Test[1] ist eine spezielle Art statistischer Tests in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Asymptotische Tests werden für immer größer werdende Stichproben konstruiert, um die im Grenzwert erhaltenen Eigenschaften und Methoden mit einem gewissen Näherungsfehler auch auf endliche Stichprobenumfänge zu übertragen. Die so gewonnenen Tests werden dann auch approximative Tests genannt.[2][3]

Ein klassisches Beispiel für approximative Tests sind die Gauß-Tests. In ihrer exakten Form sind sie lediglich für die Normalverteilung ausgelegt. Mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes können die Tests auch als asymptotischer Test auf eine große Klasse von Verteilungen ausgeweitet werden. Dadurch erhält man auch für unzugänglichere Verteilungen bei großen Stichprobenumfang gute Testverfahren.

Definition

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Rahmenbedingungen

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Gegeben sei ein Grundraum  , versehen mit einer σ-Algebra   und einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen  , die mit einer beliebigen Indexmenge   versehen ist. Sei   das n-fache kartesische Produkt von  , ebenso sei   die n-fache Produkt-σ-Algebra von   und sei   die Familie der n-fachen Produktmaße der   mit sich selbst.

Asymptotischer Test

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Unter den obigen Bedingungen sei für jedes   ein statistischer Test

 

gegeben. Dann heißt die Folge   ein asymptotischer Test.[4]

Ein asymptotischer Test ist somit eine Folge von Tests, die für sukzessiv größer werdende Stichprobenumfänge definiert sind.

Niveau eines asymptotischen Tests

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Es bezeichne   den Limes superior und   die Bildung des Erwartungswertes bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes  .

Gegeben sei eine Zerlegung von   in Nullhypothese   und Alternative  . Dann heißt der asymptotische Test   ein asymptotischer Test zum Niveau  , wenn

  für alle  

gilt.[1] Im Grenzwert liegt der Erwartungswert bei Vorliegen der Nullhypothese also immer unter  . Daraus folgt jedoch nicht, dass der asymptotische Test das Niveau bei endlichem Stichprobenumfang einhält. Genauso wenig wird angegeben, wie schnell er sich dem Niveau annähert.

Beispiel

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Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf   mit Erwartungswert null und endlicher Varianz  . Setze   und definiere

 

Hierbei ist   die Minkowski-Summe.

Dann hat   den Erwartungswert   und die Varianz  . Betrachtet man nun eine Folge von unabhängig identisch gemäß   verteilten Zufallsvariablen  , so gilt für diese der zentrale Grenzwertsatz. Mit der Abkürzung

 

gilt also

 

Hierbei ist   die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Definiert man nun für ein fixes   die Nullhypothese als

 

und die Alternative als

 ,

so lassen sich mithilfe der Teststatistiken

 

die Tests

 

für   gegen   definieren. Dabei ist   der kritische Wert, der das Niveau bestimmt. Die Tests   bilden dann einen asymptotisches Test, da jeder Test   auf dem sukzessive größer werdenden Stichprobenraum   definiert ist.

Wählt man nun für alle   als kritischen Wert das  -Quantil der Standardnormalverteilung  , so besitzt der asymptotische Test das Niveau  . Dies folgt daraus, dass nach dem zentralen Grenzwertsatz die Verteilung der Teststatistik gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Der Wert von   kann in der Quantiltabelle der Standardnormalverteilung nachgeschlagen werden.

Einzelnachweise

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  1. a b Friedrich Liese, Klaus-J. Miescke: Statistical Decision Theory. Estimation, Testing, and Selection. Springer-Verlag, New York 2008, ISBN 978-0-387-73193-3, S. 474, doi:10.1007/978-0-387-73194-0.
  2. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 28, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  3. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. vi, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  4. Friedrich Liese, Klaus-J. Miescke: Statistical Decision Theory. Estimation, Testing, and Selection. Springer-Verlag, New York 2008, ISBN 978-0-387-73193-3, S. 450, doi:10.1007/978-0-387-73194-0.