Urysohn-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind Urysohn-Räume (benannt nach Pavel Urysohn) spezielle topologische Räume, die gewisse Eigenschaften erfüllen.

Definition Bearbeiten

Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte $x$ und $y$ durch abgeschlossene Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen von $x$ und $y$ existieren.^[1]^[2]^[3]^[4]

$X$ ist ein Urysohn-Raum, falls je zwei verschiedene Punkte durch abgeschlossene Mengen getrennt sind. Man sagt auch, dass $X$ das Trennungsaxiom T_2½ erfüllt.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen Bearbeiten

Jeder Urysohn-Raum ist ein Hausdorff-Raum und erfüllt somit die Trennungsaxiome $T_{0},T_{1}$ und $T_{2}$ .

Andererseits ist jeder reguläre Hausdorff-Raum wie auch jeder vollständige Hausdorff-Raum ein Urysohn-Raum.

Beispiel Bearbeiten

Im Folgenden konstruieren wir einen topologischen Raum, der ein Urysohn-Raum, aber kein regulärer Raum und auch kein vollständiger Hausdorff-Raum ist. Sei dazu $S$ die Menge der rationalen Punkte im Einheitsquadrat in $\mathbb {Q} ^{2}$ , ohne die Paare, mit der ersten Koordinate ${\frac {1}{2}}$ . Weiter sei $X$ die Menge $S$ vereinigt mit den Punkten $(0,0)$ und $(1,0)$ und allen Punkten $(1/2,r{\sqrt {2}})$ , wobei $r$ über alle rationalen Zahlen $0<r<1/{\sqrt {2}}$ läuft. Die offenen Mengen sind durch folgende Umgebungsbasen gegeben:

für die Punkte aus $S$ die von der euklidischen Topologie induzierten,
für $(0,0)$ die Punkte der Form $(x,y)$ , wobei $0<x<1/4$ und $0<y<1/n$ für alle natürlichen Zahlen $n$ zusammen mit $(0,0)$ ,
für $(1,0)$ die Punkte der Form $(x,y)$ , wobei $3/4<x<1$ und $0<y<1/n$ für alle natürlichen Zahlen $n$ , zusammen mit $(1,0)$ ,
für $(1/2,r{\sqrt {2}})$ die Punkte der Form $(x,y)$ , wobei $1/4<x<3/4$ und $|y-r{\sqrt {2}}|<1/n$ .

Bemerkung zur Bezeichnung Bearbeiten

In einem vollständigen Hausdorff-Raum gibt es definitionsgemäß zu je zwei verschiedenen Punkten eine Urysohn-Funktion, so dass es durchaus naheliegend wäre, die Definitionen für Urysohn-Raum und vollständiger Hausdorff-Raum auszutauschen. Genau das ist im unten angegebenen Buch Counterexamples in Topology geschehen.^[5] Man sollte daher die von einem Autor verwendeten Definitionen prüfen.

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ Stephen Willard: General Topology. Adison-Wesley-Publ., 1998, ISBN 0-486-43479-6, Aufgabe 14F.
↑ Steven A. Gall: Point Set Topology. Dover Publ., 2009, ISBN 978-0-486-47222-5, Kap II.2, S. 83.
↑ Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Kap. I.5, S. 102.
↑ J. R. Porter, R. G. Woods: Extensions and Absoluteness of Hausdorff Spaces. Springer-Verlag, 1988, ISBN 1-4612-8316-7, Kapitel 4.8, S. 305.
↑ Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, S. 13 und S. 16.

[1] Stephen Willard: General Topology. Adison-Wesley-Publ., 1998, ISBN 0-486-43479-6, Aufgabe 14F.

[2] Steven A. Gall: Point Set Topology. Dover Publ., 2009, ISBN 978-0-486-47222-5, Kap II.2, S. 83.

[3] Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Kap. I.5, S. 102.

[4] J. R. Porter, R. G. Woods: Extensions and Absoluteness of Hausdorff Spaces. Springer-Verlag, 1988, ISBN 1-4612-8316-7, Kapitel 4.8, S. 305.

[5] Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, S. 13 und S. 16.

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