Vollständiger Hausdorff-Raum

Vollständige Hausdorff-Räume sind in der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik solche topologische Räume, deren Punkte sich anhand ihrer Werte unter reellwertigen stetigen Funktionen unterscheiden lassen.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte $x$ und $y$ durch eine Funktion getrennt sind, falls eine stetige Funktion $f\colon X\rightarrow [0,1]$ existiert, so dass $f(x)=0$ und $f(y)=1$ gilt.

$X$ ist ein vollständiger Hausdorff-Raum, falls zwei verschiedene Punkte $x$ und $y$ immer durch eine Funktion getrennt sind. Man sagt auch, dass $X$ vollständig $T_{2}$ sei. Anders ausgedrückt: Die Menge aller stetigen $[0,1]$-wertigen Funktionen ist punktetrennend.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder vollständige Hausdorff-Raum ist ein Urysohn-Raum und erfüllt somit unter anderem die Trennungsaxiome $T_{0}$, $T_{1}$ und $T_{2}$.

Andererseits ist jeder Tychonoff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum.

Weiter existieren dagegen Beispiele, die zeigen, dass weder jeder vollständige Hausdorff-Raum ein regulärer Hausdorff-Raum ist, noch dass jeder reguläre Hausdorff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.

Beispiele

Die euklidische Topologie auf $\mathbb {R} ^{n}$ definiert einen vollständigen Hausdorff-Raum.

Wir definieren auf $\mathbb {R}$ die Topologie, die durch die Vereinigung der Betragstopologie mit der Topologie, deren offenen Mengen die Mengen der Form $U\setminus A$ mit einer in der Betragstopologie offenen Menge $U$ und einer abzählbaren Menge $A$ erzeugt wird. Als eine Erweiterung der Betragstopologie ist diese Topologie vollständig hausdorffsch. Sie ist aber nicht regulär und somit erhalten wir auch keinen Tychonoff-Raum.

Beziehung zur Stone-Čech-Kompaktifizierung

Die kanonische Abbildung eines topologischen Raumes $X$ in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung ist genau dann injektiv, wenn $X$ vollständig hausdorffsch ist.