Die Tschebyschow-Funktion, etwa im Englischen auch Chebyshev-Funktion oder ähnlich bezeichnet, ist eine von zwei zahlentheoretischen Funktionen, die nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind. Sie erhalten durch ihren Zusammenhang mit der Primzahlzählfunktion und dem Primzahlsatz und damit der Riemannschen Zeta-Funktion an Bedeutung.
Die erste Tschebyschow-Funktion, üblicherweise mit oder bezeichnet, ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis :
Die zweite Tschebyschow-Funktion ist die summierte Funktion der Mangoldt-Funktion:
wobei die Mangoldt-Funktion definiert ist als
Grundlegende Eigenschaften
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Erstere Tschebyschow-Funktion lässt sich auch darstellen als
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wobei die Primfakultät bezeichnet.
Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis :
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Nach Erhard Schmidt gibt es für jedes positive reelle Werte für , sodass
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und
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unendlich oft.
Es gilt
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d. h.
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Ebenso gilt
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Pierre Dusart fand eine Reihe von Schranken für die beiden Funktionen:[1]
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Verwandtschaft der beiden Funktionen
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Es gilt
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wobei ganz und dann durch und eindeutig bestimmt ist.
Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch
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Man bemerke, dass für