In der metrischen Geometrie verallgemeinern Quasi-Möbiusabbildungen den aus der komplexen Geometrie bekannten Begriff der Möbiusabbildung. Sie kommen insbesondere als Randabbildungen von Quasi-Isometrien Gromov-hyperbolischer Räume vor.

Definition

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Eine Abbildung   zwischen metrischen Räumen   und   heißt quasi-Möbius, wenn sie das Doppelverhältnis bis auf eine kontrollierte Abweichung erhält, wenn es also eine stetige Bijektion   mit

 

gibt. Dabei ist das Doppelverhältnis von vier Punkten in einem metrischen Raum   definiert durch  .

Wenn sogar

 

gilt, dann spricht man (in Verallgemeinerung des Begriffes aus der komplexen Geometrie) von einer Möbiusabbildung.

Eigenschaften

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Vertauschen von   und   ergibt die umgekehrte Ungleichung (mit einer anderen Funktion  ). Daraus folgt, dass das Inverse einer Quasi-Möbiusabbildung wieder eine Quasi-Möbiusabbildung ist. Weiterhin ist die Verknüpfung zweier Quasi-Möbiusaabbildungen eine Quasi-Möbiusabbildung.

Quasi-Möbiusabbildungen sind quasikonform. Die Umkehrung gilt in Loewner-Räumen.

Satz von Efremowitsch-Tichomirowa

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Jede Quasi-Isometrie   zwischen  -hyperbolischen Räumen lässt sich zu einem Homöomorphismus der Ränder im Unendlichen   fortsetzen, der eine Quasi-Möbiusabbildung ist.

Dieser Satz hat eine Umkehrung für nicht-entartete  -hyperbolische Räume, d. h. wenn es eine Konstante   gibt, so dass jeder Punkt im Abstand höchstens   aller drei Seiten eines Dreiecks liegt. Unter dieser Voraussetzung lässt sich jeder Quasi-Möbius-Homöomorphismus   zu einer Quasi-Isometrie   fortsetzen.

Literatur

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  • J. Väisälä: Quasi-Möbius maps, J. Anal. Math. 44, 218-234 (1984/85)
  • V. Efremovich, E. Tichomirova: Epimorphisms of hyperbolic spaces, Izv. Ac. Nauk. 28, 1139-1144 (1964)
  • F. Paulin: Un groupe hyperbolique est déterminé par son bord, J. Lond. Math. Soc. 54, 50-74 (1996)
  • M. Bonk, O. Schramm: Embeddings of Gromov-hyperbolic spaces, Geom. Func. Anal. 10, 266-306 (2000)