In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet.

Definition Bearbeiten

Seien   und   zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

 

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl   kleiner 1 gibt, so dass

 

gilt. Dabei ist

 

die komplexe Dilatation, auch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als

 

Das Supremum

 

ist die Dilatation von f.

Beltrami-Gleichung Bearbeiten

Sei k eine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

 

wobei   eine integrierbare Funktion mit   ist, heißt Beltrami-Gleichung.

Hauptsatz Bearbeiten

Auf der riemannschen Zahlenkugel gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

Literatur Bearbeiten

  • C. B. Morrey: On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
  • V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
  • A. Bejancu: Quasi-conformal mapping. In: Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1556080104.
  • Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
  • Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085