In der Mathematik besagt das Margulis-Normalteiler-Theorem[1] (engl.: Margulis' normal subgroup theorem), dass Normalteiler in Gittern höheren Rangs entweder endlich oder von endlichem Index sind.

Sei   eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe mit   und endlichem Zentrum. Sei   ein irreduzibles Gitter.

Wenn   ein Normalteiler ist, dann ist entweder   (und insbesondere   endlich) oder   ist endlich.

Der wesentliche Schritt des Beweises besteht darin, dass für einen Normalteiler von unendlichem Index die Faktorgruppe   mittelbar sein muss. (Das wird durch Konstruktion einer Gruppenwirkung auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß bewiesen.) Andererseits haben Gitter höheren Rangs und damit auch ihre Faktorgruppen die Eigenschaft T und mittelbare Gruppen mit Eigenschaft T müssen endlich sein.

Der Beweis lässt sich auf Gitter in „Lie-Gruppen über lokalen Körpern“ verallgemeinern.

Literatur

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  • G. A. Margulis: Quotient groups of discrete subgroups and measure theory, Func. Anal. Appl. 12 (1978), no. 4, 295–305 (1979)
  • Kapitel 4.4 in: G. A. Margulis: Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups. Springer, Berlin Heidelberg New York, 1991.
  • Kapitel 8 in: Robert J. Zimmer: Ergodic Theory and Semisimple Groups. Birkhäuser, Basel, 1984.
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Einzelnachweise

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  1. Quelle für deutsche Bezeichnung: Laudatio zum Abel-Preis 2020 [1]