Index (Gruppentheorie)

Maß für die relative Größe zur gesamten mathematischen Gruppe

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition Bearbeiten

Es sei   eine Gruppe und   eine Untergruppe. Dann sind die Menge   der Linksnebenklassen und die Menge   der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von   in   und wird mit  , manchmal auch   oder  , bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es gilt  . (Dabei bezeichnet   die Ordnung von  .)
  • Der Index ist multiplikativ, d. h. ist   eine Untergruppe von   und   eine Untergruppe von  , so gilt
     
  • Der Spezialfall   wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:
    Für eine Gruppe   und eine Untergruppe   gilt:
     
    Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als
     
    berechnen.
  • Ist   ein Normalteiler, so ist der Index von   in   gerade die Ordnung der Faktorgruppe  , also
     .
  • Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
  • Allgemeiner: Ist   eine Untergruppe von   und   ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung   ist, dann ist   ein Normalteiler in  .

Topologische Gruppen Bearbeiten

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

  • Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
  • Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch Bearbeiten

  • Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.[1]
  • In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.[2]

Literatur Bearbeiten

Index in der Gruppentheorie:

  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, S. 38 ff.

In topologischen Gruppen:

  • Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teubner, Leipzig 1957 (russisch: Nepreryvnye gruppy. Übersetzt von Viktor Ziegler).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hungerford (1989), S. 89
  2. Hungerford (1989), S. 247