Das Lemma von Lax-Milgram, auch Satz von Lax-Milgram, ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, die nach Peter Lax und Arthur Milgram benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 eine erste Version dieses Lemmas, welches die Aussage des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz auf stetige Sesquilinearformen verallgemeinert. Eine allgemeinere Version des Lemmas wurde von Ivo Babuška bewiesen, weshalb diese Aussage auch als Satz von Babuška–Lax–Milgram bekannt ist. Anwendung finden diese Aussagen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe können Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen von partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.
Ist die Sesquilinearform zudem koerzitiv (häufig auch als stark positiv oder elliptisch bezeichnet), d. h. gibt es , so dass
gilt, dann ist invertierbar mit .
Anwendung auf elliptische DifferentialgleichungenBearbeiten
Zur Anwendung kommt das Lemma von Lax-Milgram in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Insbesondere lassen sich für lineare Differentialgleichungen Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen, falls obige Bedingungen erfüllt sind. Dies wird nun am Beispiel einer gleichmäßig elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung illustriert.
Sei
ein gleichmäßig elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Das heißt, es gilt für , mit und es existiert ein , so dass das Hauptsymbol für alle und alle die Ungleichung
so erhält man eine reellwertige Bilinearform, deren Stetigkeit man mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zeigen kann. Die Form ist auch koerzitiv, was aus der Bedingung folgt. Daher erfüllt die Bilinearform die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram. Man sucht nun also eine Lösung der Gleichung
wobei
Da der Ausdruck linear und stetig ist, also ein Element des Dualraums ist, kann man den Darstellungssatz von Fréchet-Riesz anwenden und erhält genau ein , so dass für alle gilt. Und aufgrund des Lemmas von Lax-Milgram hat die Gleichung
für alle genau eine Lösung .
Auf ähnliche Weise kann man auch die Existenz und Eindeutigkeit bei Neumann-Randbedingungen zeigen.