Definition der Kategorie
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Ein Objekt von
C
d
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{d}}
ist ein Paar
(
M
,
a
)
{\displaystyle (M,a)}
mit
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
, so dass
M
{\displaystyle M}
eine geschlossene,
(
d
−
1
)
{\displaystyle (d-1)}
-dimensionale
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
-Untermannigfaltigkeit
M
⊂
R
d
−
1
+
∞
:=
colim
n
→
∞
R
d
−
1
+
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{d-1+\infty }:=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\mathbb {R} ^{d-1+n}}
ist.
Der Identitäts-Morphismus von
(
M
,
a
)
{\displaystyle (M,a)}
ist das Tripel
(
{
a
}
×
M
,
a
,
a
)
{\displaystyle (\left\{a\right\}\times M,a,a)}
.
Ein von der Identität verschiedener Morphismus von
(
M
0
,
a
0
)
{\displaystyle (M_{0},a_{0})}
nach
(
M
1
,
a
1
)
{\displaystyle (M_{1},a_{1})}
ist ein Tripel
(
W
,
a
0
,
a
1
)
{\displaystyle (W,a_{0},a_{1})}
aus reellen Zahlen
a
0
,
a
1
{\displaystyle a_{0},a_{1}}
mit
a
0
<
a
1
{\displaystyle a_{0}<a_{1}}
und einer
d
{\displaystyle d}
-dimensionalen kompakten
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
-Untermannigfaltigkeit
W
⊂
[
a
0
,
a
1
]
×
R
d
−
1
+
∞
{\displaystyle W\subset \left[a_{0},a_{1}\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty }}
,
so dass es ein
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
gibt mit
W
∩
(
[
a
0
,
a
0
+
ϵ
)
×
R
d
−
1
+
∞
)
=
[
a
0
,
a
0
+
ϵ
)
×
M
0
{\displaystyle W\cap (\left[a_{0},a_{0}+\epsilon \right)\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })=\left[a_{0},a_{0}+\epsilon \right)\times M_{0}}
,
W
∩
(
(
a
1
−
ϵ
,
a
1
]
×
R
d
−
1
+
∞
)
=
(
a
1
−
ϵ
,
a
1
]
×
M
1
{\displaystyle W\cap (\left(a_{1}-\epsilon ,a_{1}\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })=\left(a_{1}-\epsilon ,a_{1}\right]\times M_{1}}
,
∂
W
=
W
∩
(
{
a
0
,
a
1
}
×
R
d
−
1
+
∞
)
{\displaystyle \partial W=W\cap (\left\{a_{0},a_{1}\right\}\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })}
.
Die Komposition zweier Morphismen wird durch die Vereinigung
(
W
1
,
a
0
,
a
1
)
∘
(
W
2
,
a
1
,
a
2
)
:=
(
W
1
∪
W
2
,
a
0
,
a
2
)
{\displaystyle (W_{1},a_{0},a_{1})\circ (W_{2},a_{1},a_{2}):=(W_{1}\cup W_{2},a_{0},a_{2})}
von Teilmengen in
R
×
R
d
−
1
+
∞
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d-1+\infty }}
definiert.
Topologische Anreicherung der Kategorie
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Objekte und Morphismen erhalten eine Topologie durch die Identifikationen
ob
C
d
≅
R
×
⋃
M
Emb
(
M
,
R
d
−
1
+
∞
)
/
Diff
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {ob} {\mathcal {C}}_{d}\cong \mathbb {R} \times \bigcup _{M}\operatorname {Emb} (M,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (M)}
und
mor
C
d
≅
ob
C
d
∪
⋃
W
R
+
2
×
Emb
(
W
,
[
0
,
1
]
×
R
d
−
1
+
∞
)
/
Diff
(
W
)
{\displaystyle \operatorname {mor} {\mathcal {C}}_{d}\cong \operatorname {ob} {\mathcal {C}}_{d}\cup \bigcup _{W}\mathbb {R} _{+}^{2}\times \operatorname {Emb} (W,\left[0,1\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (W)}
.
Dabei bezeichnet
Emb
(
.
,
R
d
−
1
+
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Emb} (.,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })}
den Raum der Einbettungen in den
R
d
−
1
+
∞
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d-1+\infty }}
mit der
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
-Topologie. Die Diffeomorphismengruppe
D
i
f
f
(
.
)
{\displaystyle Diff(.)}
wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen. Der Faktorraum
Emb
(
.
,
R
d
−
1
+
∞
)
/
Diff
(
.
)
{\displaystyle \operatorname {Emb} (.,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (.)}
wird mit der Quotiententopologie versehen.
Galatius , Madsen , Tillmann , Weiss : The homotopy type of the cobordism category , Acta Math. 202 (2009), no. 2, S. 195–239.
Galatius, Randal-Williams : Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds , Acta Math. 212 (2014), no. 2, S. 257–377.