Gruppen mit Poincaré-Dualität (engl.: Poincaré duality groups) sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Gruppentheorie, der in zahlreichen Fragen der algebraischen und geometrischen Topologie von Bedeutung ist.

Eine offene Vermutung von Wall besagt, dass eine endlich präsentierte Gruppe genau dann eine -dimensionale Poincaré-Dualität erfüllt, wenn sie die Fundamentalgruppe einer asphärischen geschlossenen Mannigfaltigkeit ist.

Definitionen

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Eine Gruppe   ist eine Gruppe mit  -dimensionaler Poincaré-Dualität, wenn es einen als  -Modul zu   isomorphen  -Modul   gibt, so dass man für jeden Modul   über dem Gruppenring   und alle   einen Isomorphismus

 

der  -ten Gruppenkohomologie mit Koeffizienten in   mit der  -ten Gruppenhomologie mit Koeffizienten in   hat.

Für endlich präsentierte Gruppen ist diese Definition äquivalent zu der Bedingung, dass

  •   für alle   und
  •   gilt.

Ebenfalls für endlich präsentierte Gruppen besagt eine äquivalente Definition, dass eine Gruppe  -dimensionaler Poincaré-Dualität erfüllt, wenn sie frei und eigentlich diskontinuierlich auf einem zusammenziehbaren Zellkomplex   mit   (für die Kohomologie mit kompaktem Träger) wirkt.

Beispiele

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Die Fundamentalgruppe   einer asphärischen geschlossenen  -dimensionalen Mannigfaltigkeit   erfüllt  -dimensionale Poincaré-Dualität. Tatsächlich sind in diesem Fall die Homologe und Kohomologie der Gruppe   isomorph zur Homologie und Kohomologie der Mannigfaltigkeit   und für letztere gilt Poincaré-Dualität. Der  -Modul   ist in diesem Fall der Orientierungsmodul  , welcher im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten   mit der trivialen  -Wirkung ist.

Die Fundamentalgruppen geschlossener Mannigfaltigkeit sind stets endlich präsentiert. Es gibt aber auch Gruppen mit Poincaré-Dualität, die nicht endlich präsentiert sind.[1]

Eigenschaften

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Sei   eine Gruppe mit  -dimensionaler Poincaré-Dualität. Dann gilt

  •   ist endlich erzeugt
  • die kohomologische Dimension von   ist  
  •   ist torsionsfrei
  • eine Untergruppe   ist genau dann eine Gruppe mit  -dimensionaler Poincaré-Dualität, wenn sie endlichen Index in   hat
  • eine Untergruppe   ist genau dann eine Gruppe mit  -dimensionaler Poincaré-Dualität, wenn ihre kohomologische Dimension   ist
  • Untergruppen von unendlichem Index haben eine kohomologische Dimension kleiner als  .

Literatur

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  • K. S. Brown, Cohomology of Groups, Springer-Verlag, New York (1982).
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Einzelnachweise

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  1. M. Bestvina, N. Brady, Morse theory and finiteness properties of groups, Invent. Math. 129 (1997), 445–470.