In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.

Farey-Graph

Definition Bearbeiten

Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist  , also die Menge aller Paare

 ,

wobei   als   aufgefasst wird.

Zwei Knoten   und   sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn

 

gilt.[1]

Anwendungen Bearbeiten

  • Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme   beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung   aller Farey-Diagramme.
  • In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
  • Die Modulgruppe   und ihr Quotient   wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf   und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
  • Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung   und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
  • Die Coxeter-Gruppe   (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch
 ,
jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von   auf der hyperbolischen Ebene.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3-space, Kapitel 3
  2. The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere