Elliptische Koordinaten in der Ebene
Bearbeiten
Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen
−
c
{\displaystyle -c}
und
+
c
{\displaystyle +c}
auf der
x
{\displaystyle x}
-Achse eines kartesischen Koordinatensystems . Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten
u
,
ψ
∈
R
≥
0
,
ψ
<
2
π
{\displaystyle u,\psi \in \mathbb {R} ^{\geq 0},\psi <2\pi }
[2] :17 hat dann die kartesischen Koordinaten
(
x
y
)
=
(
c
⋅
cosh
u
⋅
cos
ψ
c
⋅
sinh
u
⋅
sin
ψ
)
,
(
u
ψ
)
=
(
a
c
o
s
h
(
w
2
c
)
a
t
a
n
2
(
y
w
2
,
x
w
1
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\cdot \cosh u\cdot \cos \psi \\c\cdot \sinh u\cdot \sin \psi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}u\\\psi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\rm {acosh}}\left({\frac {w_{2}}{\sqrt {c}}}\right)\\{\rm {atan2}}(y\,w_{2},x\,w_{1})\end{pmatrix}}}
mit
• sin, cos:
Sinus und Cosinus
• sinh, cosh:
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus
• acosh:
Areakosinus hyperbolicus ,
• atan2 :
eine Umkehrfunktion des Tangens
•
w
1
{\displaystyle w_{1}}
:
=
m
1
+
m
1
2
+
y
2
,
m
1
:=
x
2
+
y
2
−
c
2
2
c
{\displaystyle ={\sqrt {m_{1}+{\sqrt {m_{1}^{2}+y^{2}}}}},\;m_{1}:={\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2c}}}
, und
•
w
2
{\displaystyle w_{2}}
:
=
m
2
+
m
2
2
−
x
2
,
m
2
:=
x
2
+
y
2
+
c
2
2
c
{\displaystyle ={\sqrt {m_{2}+{\sqrt {m_{2}^{2}-x^{2}}}}},\;m_{2}:={\frac {x^{2}+y^{2}+c^{2}}{2c}}}
Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf mit imaginärer Einheit i2 =-1, so gilt
x
+
i
y
=
c
⋅
cosh
(
u
+
i
ψ
)
.
{\displaystyle x+{\rm {i}}y=c\cdot \cosh(u+{\rm {i}}\psi ).}
Der Kosinus hyperbolicus ist eine Holomorphe Funktion , was die Orthogonalität der elliptischen Koordinaten in der Ebene begründet.
Die Kurven in der xy-Ebene , auf denen u konstant ist (was die Niveaulinien von u in der xy-Ebene sind,) bilden die Ellipsen [2] :17
x
2
(
c
cosh
u
)
2
+
y
2
(
c
sinh
u
)
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{(c\cosh u)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(c\sinh u)^{2}}}=1}
Die Niveaulinien von ψ sind die konfokalen Hyperbeln
x
2
(
c
cos
ψ
)
2
−
y
2
(
c
sin
ψ
)
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{(c\cos \psi )^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(c\sin \psi )^{2}}}=1}
die nur in Vielfachen von π ⁄2 bzw. 90°, wie in Polarkoordinaten radiale Geraden sind: Für
u
=
0
{\displaystyle u=0}
ist die ψ-Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für
ψ
=
0
{\displaystyle \psi =0}
ist die
u
{\displaystyle u}
-Koordinatenlinie zur Halbgeraden
[
c
,
∞
[
{\displaystyle \left[c,\infty \right[}
auf der
x
{\displaystyle x}
-Achse entartet, für
ψ
=
π
{\displaystyle \psi =\pi }
zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen
x
{\displaystyle x}
-Achse. Für
ψ
=
π
2
{\displaystyle \psi ={\tfrac {\pi }{2}}}
und
ψ
=
3
π
2
{\displaystyle \psi ={\tfrac {3\pi }{2}}}
ist die
u
{\displaystyle u}
-Koordinatenlinie die positive bzw. die negative
y
{\displaystyle y}
-Achse.
Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität
e
=
c
{\displaystyle e=c}
. Die Ellipsen, auf denen
u
{\displaystyle u}
konstant ist, haben die große Halbachse
a
=
c
cosh
u
{\displaystyle a=c\cosh u}
, die kleine Halbachse
b
=
c
sinh
u
{\displaystyle b=c\sinh u}
und numerische Exzentrizität
ε
=
1
cosh
u
{\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{\cosh u}}}
. Die Hyperbeln, auf denen
ψ
{\displaystyle \psi }
konstant ist, haben die waagerechte Halbachse
a
=
c
cos
ψ
{\displaystyle a=c\cos \psi }
, die senkrechte Halbachse
b
=
c
sin
ψ
{\displaystyle b=c\sin \psi }
und numerische Exzentrizität
ε
=
1
cos
ψ
{\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{\cos \psi }}}
.
Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur möglich, weil Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse (
a
2
=
e
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}=e^{2}+b^{2}}
) bei Ellipsen bzw. reeller und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln (
a
2
=
e
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}=e^{2}-b^{2}}
) trivial erfüllen.
Metrische Faktoren, Weg- und Flächenelemente in der Ebene
Bearbeiten
Die kovarianten Basisvektoren sind
g
→
u
=
∂
∂
u
(
x
y
)
=
c
(
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
)
,
g
→
ψ
=
∂
∂
ψ
(
x
y
)
=
c
(
−
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
)
{\displaystyle {\vec {g}}_{u}={\frac {\partial }{\partial u}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi )\\\cosh(u)\sin(\psi )\end{pmatrix}},\quad {\vec {g}}_{\psi }={\frac {\partial }{\partial \psi }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi )\\\sinh(u)\cos(\psi )\end{pmatrix}}}
die, wie es sein muss, senkrecht zueinander sind, und deren Beträge die metrischen Faktoren sind:[2] :18
h
u
:=
|
g
→
u
|
=
c
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
,
h
ψ
:=
|
g
→
ψ
|
=
h
u
:=
h
{\displaystyle h_{u}:=|{\vec {g}}_{u}|=c{\sqrt {\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}}},\quad h_{\psi }:=|{\vec {g}}_{\psi }|=h_{u}:=h}
Das elliptische Orthonormalsystem ist dementsprechend
c
^
u
=
c
h
(
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
)
,
c
^
ψ
=
c
h
(
−
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
)
{\displaystyle {\hat {c}}_{u}={\frac {c}{h}}{\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi )\\\cosh(u)\sin(\psi )\end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{\psi }={\frac {c}{h}}{\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi )\\\sinh(u)\cos(\psi )\end{pmatrix}}}
Das Linien- und Flächenelement ergibt sich zu[2] :18
d
r
→
=
g
→
u
d
u
+
g
→
ψ
d
ψ
d
s
2
:=
|
d
r
→
|
2
=
c
2
(
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
)
(
d
u
2
+
d
ψ
2
)
d
A
:=
c
2
(
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
)
d
u
d
ψ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&{\vec {g}}_{u}{\rm {d}}u+{\vec {g}}_{\psi }{\rm {d}}\psi \\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}=c^{2}(\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2})({\rm {d}}u^{2}+{\rm {d}}\psi ^{2})\\{\rm {d}}A:=&c^{2}(\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}){\rm {d}}u\,{\rm {d}}\psi \end{aligned}}}
Operatoren in der Ebene
Bearbeiten
Die üblichen Differentialoperatoren führt die Tabelle auf[2] :18
(
h
=
c
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
,
v
→
=
v
u
c
^
u
+
v
ψ
c
^
ψ
)
{\displaystyle (h=c{\sqrt {\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}}},{\vec {v}}=v_{u}{\hat {c}}_{u}+v_{\psi }{\hat {c}}_{\psi })}
Gradient :
g
r
a
d
f
=
1
h
(
c
^
u
∂
f
∂
u
+
c
^
ψ
∂
f
∂
ψ
)
{\displaystyle {\rm {grad}}\,f={\frac {1}{h}}\left({\hat {c}}_{u}{\frac {\partial f}{\partial u}}+{\hat {c}}_{\psi }{\frac {\partial f}{\partial \psi }}\right)}
Divergenz :
d
i
v
v
→
=
1
h
2
(
∂
(
h
v
u
)
∂
u
+
∂
(
h
v
ψ
)
∂
ψ
)
{\displaystyle {\rm {div}}\,{\vec {v}}={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial (hv_{u})}{\partial u}}+{\frac {\partial (hv_{\psi })}{\partial \psi }}\right)}
Rotation :
r
o
t
v
→
=
1
h
2
(
∂
(
h
v
ψ
)
∂
u
−
∂
(
h
v
u
)
∂
ψ
)
{\displaystyle {\rm {rot}}\,{\vec {v}}={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial (hv_{\psi })}{\partial u}}-{\frac {\partial (hv_{u})}{\partial \psi }}\right)}
Laplace-Operator :
Δ
f
=
1
h
2
(
∂
2
f
∂
u
2
+
∂
2
f
∂
ψ
2
)
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \psi ^{2}}}\right)}
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in der Ebene
Bearbeiten
Die besondere Form des Laplace-Operators erlaubt eine Lösung der Helmholtz-Gleichung durch multiplikative Trennung der Veränderlichen gemäß dem Separationsansatz [2] :20
ϕ
(
u
,
ψ
)
=
U
(
u
)
⋅
Ψ
(
ψ
)
{\displaystyle \phi (u,\psi )=U(u)\cdot \Psi (\psi )}
Mit obigem Laplace-Operator entsteht die Helmholtz-Gleichung:
Δ
ϕ
(
u
,
ψ
)
=
1
c
2
[
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
]
(
d
2
U
d
u
2
Ψ
+
U
d
2
Ψ
d
ψ
2
)
=
λ
⋅
U
⋅
Ψ
{\displaystyle \Delta \phi (u,\psi )={\frac {1}{c^{2}[\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}]}}\left({\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}\Psi +U{\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}\right)=\lambda \cdot U\cdot \Psi }
Multiplikation beider Seiten mit
c
2
[
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
]
U
⋅
Ψ
{\displaystyle {\tfrac {c^{2}[\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}]}{U\cdot \Psi }}}
liefert umgestellt
λ
c
2
cosh
(
u
)
2
−
d
2
U
d
u
2
U
=
λ
c
2
cos
(
ψ
)
2
+
d
2
Ψ
d
ψ
2
Ψ
{\displaystyle \lambda c^{2}\cosh(u)^{2}-{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}{U}}=\lambda c^{2}\cos(\psi )^{2}+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}{\Psi }}}
Weil die linke Seite nur von u und die rechte nur von ψ abhängt, stehen auf beiden Seiten Konstanten:
λ
c
2
cosh
(
u
)
2
−
d
2
U
d
u
2
U
=
κ
2
→
d
2
U
d
u
2
+
[
κ
2
−
λ
c
2
cosh
(
u
)
2
]
U
=
0
λ
c
2
cos
(
ψ
)
2
+
d
2
Ψ
d
ψ
2
Ψ
=
κ
2
→
d
2
Ψ
d
ψ
2
−
[
κ
2
−
λ
c
2
cos
(
ψ
)
2
]
Ψ
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda c^{2}\cosh(u)^{2}-{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}{U}}=\kappa ^{2}\rightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}+[\kappa ^{2}-\lambda c^{2}\cosh(u)^{2}]U=0\\\lambda c^{2}\cos(\psi )^{2}+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}{\Psi }}=\kappa ^{2}\rightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}-[\kappa ^{2}-\lambda c^{2}\cos(\psi )^{2}]\Psi =0\end{aligned}}}
Im Fall der Laplace-Gleichung ist λ=0 und die Lösungsfunktion kann mit dem Sinus und Cosinus sowie dem Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus ausgedrückt werden:
ϕ
(
u
,
ψ
)
=
[
A
sin
(
κ
u
)
+
B
cos
(
κ
u
)
]
[
C
sinh
(
κ
ψ
)
+
D
cosh
(
κ
ψ
)
]
{\displaystyle \phi (u,\psi )=[A\sin(\kappa u)+B\cos(\kappa u)][C\sinh(\kappa \psi )+D\cosh(\kappa \psi )]}
Die Konstanten A, B, C, D und κ dienen der Anpassung an Randbedingungen . Wenn die Separationskonstante κ2 mit negativem Vorzeichen angesetzt wird, vertauschen sich in der Lösungsfunktion die Winkelfunktionen durch die Hyperbelfunktionen und umgekehrt.
Elliptische Zylinderkoordinaten
Bearbeiten
Koordinatenflächen der elliptischen Zylinderkoordinaten bei c=50. Der blaue elliptische Zylinder entspricht u=0,9, der rote hyperbolische Zylinder ψ=0,9 und die gelbe Ebene z=10.
Die elliptischen Zylinderkoordinaten entstehen aus den ebenen elliptischen Koordinaten des vorangegangenen Abschnitts durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene in z-Richtung, sodass viele Eigenschaften von dort hierher übertragen werden können.
Die elliptischen Zylinderkoordinaten
u
,
ψ
,
z
∈
R
,
u
≥
0
,
0
≤
ψ
<
2
π
{\displaystyle u,\psi ,z\in \mathbb {R} ,u\geq 0,0\leq \psi <2\pi }
und die kartesischen
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
hängen wie folgt zusammen:[2] :17
(
x
y
z
)
=
(
c
⋅
cosh
u
⋅
cos
ψ
c
⋅
sinh
u
⋅
sin
ψ
z
)
,
(
u
ψ
z
)
=
(
a
c
o
s
h
(
w
2
c
)
a
t
a
n
2
(
y
w
2
,
x
w
1
)
z
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\cdot \cosh u\cdot \cos \psi \\c\cdot \sinh u\cdot \sin \psi \\z\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}u\\\psi \\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\rm {acosh}}\left({\frac {w_{2}}{\sqrt {c}}}\right)\\{\rm {atan2}}(y\,w_{2},x\,w_{1})\\z\end{pmatrix}}}
Bezeichnungen siehe #Elliptische Koordinaten in der Ebene .
Metrische Faktoren, Weg- und Flächenelemente in elliptischen Zylinderkoordinaten
Bearbeiten
Die kovarianten Basisvektoren sind mit
r
→
=
(
x
,
y
,
z
)
⊤
{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)^{\top }}
:
g
→
u
:=
∂
r
→
∂
u
=
c
(
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
0
)
,
g
→
ψ
:=
∂
r
→
∂
ψ
=
c
(
−
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
0
)
,
g
→
z
:=
∂
r
→
∂
z
=
(
0
0
1
)
{\displaystyle {\vec {g}}_{u}:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}=c{\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi )\\\cosh(u)\sin(\psi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {g}}_{\psi }:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \psi }}=c{\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi )\\\sinh(u)\cos(\psi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {g}}_{z}:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}
die, wie in der Ebene, senkrecht zueinander sind, und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die metrischen Faktoren lauten wie in der xy-Ebene:[2] :18
h
u
:=
|
g
→
u
|
=
c
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
,
h
ψ
:=
|
g
→
ψ
|
=
h
u
:=
h
,
h
z
=
1
{\displaystyle h_{u}:=|{\vec {g}}_{u}|=c{\sqrt {\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}}},\quad h_{\psi }:=|{\vec {g}}_{\psi }|=h_{u}:=h,\quad h_{z}=1}
Das elliptische Orthonormalsystem ist dementsprechend
c
^
u
=
c
h
(
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
0
)
,
c
^
ψ
=
c
h
(
−
cosh
(
u
)
sin
(
ψ
)
sinh
(
u
)
cos
(
ψ
)
0
)
,
c
^
z
=
(
0
0
1
)
{\displaystyle {\hat {c}}_{u}={\frac {c}{h}}{\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi )\\\cosh(u)\sin(\psi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{\psi }={\frac {c}{h}}{\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi )\\\sinh(u)\cos(\psi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {c}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}
Das Linien- und Flächen und Volumenelement ergibt sich zu[2] :18 [5] :392
d
r
→
=
g
→
u
d
u
+
g
→
ψ
d
ψ
+
g
→
z
d
z
d
s
2
:=
|
d
r
→
|
2
=
c
2
(
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
)
(
d
u
2
+
d
ψ
2
)
+
d
z
2
d
A
:=
c
2
(
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
)
c
^
z
d
u
d
ψ
+
h
d
z
(
c
^
ψ
d
u
+
c
^
u
d
ψ
)
d
V
:=
c
2
(
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
)
d
u
d
ψ
d
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&{\vec {g}}_{u}{\rm {d}}u+{\vec {g}}_{\psi }{\rm {d}}\psi +{\vec {g}}_{z}{\rm {d}}z\\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}=c^{2}(\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2})({\rm {d}}u^{2}+{\rm {d}}\psi ^{2})+{\rm {d}}z^{2}\\{\rm {d}}A:=&c^{2}(\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}){\hat {c}}_{z}{\rm {d}}u\,{\rm {d}}\psi +h\,{\rm {d}}z({\hat {c}}_{\psi }{\rm {d}}u+{\hat {c}}_{u}{\rm {d}}\psi )\\{\rm {d}}V:=&c^{2}(\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}){\rm {d}}u\,{\rm {d}}\psi \,{\rm {d}}z\end{aligned}}}
Operatoren in elliptischen Zylinderkoordinaten
Bearbeiten
Die üblichen Differentialoperatoren führt die Tabelle auf[2] :18 [5] :403ff
(
h
=
c
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
,
v
→
=
v
u
c
^
u
+
v
ψ
c
^
ψ
+
v
z
c
^
z
)
{\displaystyle (h=c{\sqrt {\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}}},{\vec {v}}=v_{u}{\hat {c}}_{u}+v_{\psi }{\hat {c}}_{\psi }+v_{z}{\hat {c}}_{z})}
Gradient :
g
r
a
d
f
=
1
h
(
c
^
u
∂
f
∂
u
+
c
^
ψ
∂
f
∂
ψ
)
+
c
^
z
∂
f
∂
z
{\displaystyle {\rm {grad}}\,f={\frac {1}{h}}\left({\hat {c}}_{u}{\frac {\partial f}{\partial u}}+{\hat {c}}_{\psi }{\frac {\partial f}{\partial \psi }}\right)+{\hat {c}}_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}}
Divergenz :
d
i
v
v
→
=
1
h
2
(
∂
(
h
v
u
)
∂
u
+
∂
(
h
v
ψ
)
∂
ψ
+
∂
(
h
2
v
z
)
∂
z
)
{\displaystyle {\rm {div}}\,{\vec {v}}={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial (hv_{u})}{\partial u}}+{\frac {\partial (hv_{\psi })}{\partial \psi }}+{\frac {\partial (h^{2}v_{z})}{\partial z}}\right)}
Rotation :
r
o
t
v
→
=
c
^
u
h
(
∂
v
z
∂
ψ
−
∂
(
h
v
ψ
)
∂
z
)
+
c
^
ψ
h
(
∂
(
h
v
u
)
∂
z
−
∂
v
z
∂
u
)
+
c
^
z
h
2
(
∂
(
h
v
ψ
)
∂
u
−
∂
(
h
v
u
)
∂
ψ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {rot}}\,{\vec {v}}=&{\frac {{\hat {c}}_{u}}{h}}\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial \psi }}-{\frac {\partial (hv_{\psi })}{\partial z}}\right)+{\frac {{\hat {c}}_{\psi }}{h}}\left({\frac {\partial (hv_{u})}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial u}}\right)\\&+{\frac {{\hat {c}}_{z}}{h^{2}}}\left({\frac {\partial (hv_{\psi })}{\partial u}}-{\frac {\partial (hv_{u})}{\partial \psi }}\right)\end{aligned}}}
Laplace-Operator :
Δ
f
=
1
h
2
(
∂
2
f
∂
u
2
+
∂
2
f
∂
ψ
2
)
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \psi ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in elliptischen Zylinderkoordinaten
Bearbeiten
Die besondere Form des Laplace-Operators erlaubt eine Lösung der Helmholtz-Gleichung durch multiplikative Trennung der Veränderlichen gemäß dem Separationsansatz [2] :20
ϕ
(
u
,
ψ
,
z
)
=
U
(
u
)
⋅
Ψ
(
ψ
)
⋅
Z
(
z
)
{\displaystyle \phi (u,\psi ,z)=U(u)\cdot \Psi (\psi )\cdot Z(z)}
Mit obigem Laplace-Operator entsteht die Helmholtz-Gleichung:
Δ
ϕ
(
u
,
ψ
,
z
)
=
1
c
2
[
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
]
(
d
2
U
d
u
2
Ψ
Z
+
U
d
2
Ψ
d
ψ
2
Z
)
+
U
Ψ
d
2
Z
d
z
2
=
λ
⋅
U
⋅
Ψ
⋅
Z
{\displaystyle \Delta \phi (u,\psi ,z)={\frac {1}{c^{2}[\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}]}}\left({\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}\Psi Z+U{\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}Z\right)+U\Psi {\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}=\lambda \cdot U\cdot \Psi \cdot Z}
Division durch
ϕ
=
U
⋅
Ψ
⋅
Z
{\displaystyle \phi =U\cdot \Psi \cdot Z}
liefert
1
c
2
[
cosh
(
u
)
2
−
cos
(
ψ
)
2
]
(
d
2
U
d
u
2
U
+
d
2
Ψ
d
ψ
2
Ψ
)
+
d
2
Z
d
z
2
Z
=
λ
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}[\cosh(u)^{2}-\cos(\psi )^{2}]}}\left({\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}{U}}+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}{\Psi }}\right)+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}{Z}}=\lambda }
Weil auf der rechten Seite eine Konstante steht und nur letzte Term auf der linken Seite von z abhängt, ist dieser ebenfalls konstant:
d
2
Z
d
z
2
Z
=
η
→
d
2
Z
d
z
2
−
η
Z
=
0
{\displaystyle {\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}{Z}}=\eta \;\rightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}-\eta Z=0}
Für die Gleichung darüber ergibt sich nach Umstellung wie in der Ebene nur mit λ-η statt λ
(
λ
−
η
)
c
2
cosh
(
u
)
2
−
d
2
U
d
u
2
U
=
(
λ
−
η
)
c
2
cos
(
ψ
)
2
+
d
2
Ψ
d
ψ
2
Ψ
=
κ
2
{\displaystyle (\lambda -\eta )c^{2}\cosh(u)^{2}-{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}{U}}=(\lambda -\eta )c^{2}\cos(\psi )^{2}+{\frac {\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}{\Psi }}=\kappa ^{2}}
Wie in der Ebene führt das auf unabhängige gewöhnliche Differenzialgleichungen:[2] :18
d
2
U
d
u
2
+
[
κ
2
−
(
λ
−
η
)
c
2
cosh
(
u
)
2
]
U
=
0
d
2
Ψ
d
ψ
2
−
[
κ
2
−
(
λ
−
η
)
c
2
cos
(
ψ
)
2
]
Ψ
=
0
d
2
Z
d
z
2
−
η
Z
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}^{2}U}{{\rm {d}}u^{2}}}+[\kappa ^{2}-(\lambda -\eta )c^{2}\cosh(u)^{2}]U=0\\{\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}\psi ^{2}}}-[\kappa ^{2}-(\lambda -\eta )c^{2}\cos(\psi )^{2}]\Psi =0\\{\frac {{\rm {d}}^{2}Z}{{\rm {d}}z^{2}}}-\eta Z=0\end{aligned}}}
Weitere Verallgemeinerungen auf drei Dimensionen
Bearbeiten
Elliptische Koordinaten der Ebene können noch auf andere Arten auf den dreidimensionalen Raum übertragen werden:
Zwei weitere räumliche Fortsetzungen entstehen durch Rotation der ebenen elliptischen Koordinaten um die große Achse der Ellipsen (prolate spheroidal coordinates [2] :28 [3] :661 ) oder um deren kleine Achse (oblate spheroidal coordinates [2] :31 [3] :662 ).
Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln führt auf die räumlichen elliptischen Koordinaten, die konfokale Quadriken (Ellipsoide, ein- und zweischalige Hyperboloide) verwenden.[6] [2] :41 [3] :663
↑
George Salmon: Analytische Geometrie der Kegelschnitte . Band 1 . B. G. Teubner, Leipzig/Berlin 1915, DNB 367816768 , S. 422 .
↑ a b c d e f g h i j k l m n o p
P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook . Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7 , S. 3 ff .
↑ a b c d
P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I . McGraw-Hill, New York 1953.
↑
Trotz Trennung der Veränderlichen kann die Schrödinger Gleichung nur in Spezialfällen analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten. In drei Dimensionen muss die Potentielle Energie eine bestimmte Form aufweisen, damit eine Lösung gelingt.
↑ a b
Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik . Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1 . Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7 , doi :10.1007/978-3-658-25272-4 .
↑
Felix Klein: Vorlesungen über höhere Geometrie . Springer, 2013, ISBN 3-642-88674-4 , S. 19 .