Diskussion:Partielle Integration

Versionsgeschichte

Die Versionsgeschichte des Originals findet sich hier: [1], benutzt wurde die Version vom 4. Juli 2005. --DaTroll 08:47, 13. Jul 2005 (CEST)

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Kleine Mängel

Erster Abschnitt: "Folglich gilt" An dieser Stelle fehlt eine Zuweisung: v = f(x) u = g(x) Normalerweise sollte man es auch so nachvollziehen können, aber der Vollständigkeit halber müsste es dort stehen. Dann wirkt auch die Vertauschung der Reihenfolge im folgenden Term nichtmehr so verwirrend.

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In Punkt 5 Methoden der partiellen Integration -> 5.1 Beispiel 1 heißt es:

"Setzt man f(x) = cos(x) (...) so ergibt sich f'(x) = − sin(x)"

in der Darstellung des Artikels ist da bei mir einfach kein Apostroph für die Ableitung zu erkennen, obwohl es auf der Bearbeitungsseite und beim Kopieren des Satzes sehr wohl auftaucht. Wie kommt das und lässt sich das ändern? --Njirks 00:45, 4. Okt. 2007 (CEST)

Ja, da ließ sich was machen. So besser? --rdb? 00:47, 4. Okt. 2007 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 13:56, 2. Nov. 2012 (CET)

Erwähnung der ob gerade unbestimmtes und bestimmtes Integral gemeint.

Es wird im Text am Anfang das bestimmte Integral genommen, später dann einfach ein unbestimmtes. Würde dies wenigstens nebenbei erwähnen, um eventuelle Unwissende nicht zu verschrecken. k00ni 23:42, 24. Jul. 2008 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 15:36, 28. Mai 2013 (CEST)

Verständlichkeit für Schüler

Ich kann mich noch gut daran erinnern, wie ich damals fürs Abi gelernt habe, und mir diesen Artikel durchgelesen habe. Ich habe es damals nicht verstanden, weil zu viel Wissen über die speziellen Funktionen (ln, sin, cos, etc.) vorrausgesetzt wurde. Der Schritt war einfach zu groß. Ich habe jetzt ein Beispiel eingefügt, dass es Unwissenden möglich macht die partielle Integration mit sehr wenig Grundwissen nachzuvollziehen. Ich habe mich um eine möglichst einfache und eindeutige Ausführung bemüht, was es mathematisch vielleicht etwas unsauber macht, aber dazu beiträgt den Prozess nicht duch zu viele f(x) usw. zu verschleiern. Ich hoffe meine Veränderung macht es anderen leichter das Thema zu verstehen, auch wenn sie noch am Anfang stehen.--Malibu9 20:34, 4. Apr. 2011 (CEST)

Und ich habe dies wieder entfernt. Wikipedia ist kein Schulbuch, sondern eine Enzyklopädie. Sätze wie „Als erstes Beispiel wollen wir ein Polynom integrieren, dass eigentlich nicht partiell integriert werden müsste. Allerdings wird so der Prozess deutlich.“ gehören hier nicht hin. Formuliere das doch bitte um…— Spuki ^Séance 20:37, 4. Apr. 2011 (CEST)

Betrifft deine Kritik die Idee nen Einfachereres Beispiel zu bringen, oder nur der Formulierung der Einleitung?--Malibu9 20:45, 4. Apr. 2011 (CEST)

Lediglich die Formulierung. Die Idee an sich ist von meiner Seite aus nicht zu beanstanden. Überleg mal: Liest Du in einer Enzyklopädie Formulierungen wie „Wir wollen…“? Eher nicht, sondern vielleicht in Schulbüchern oder Anleitungen. Dies ist die Wikipedia aber nicht. Nicht böse gemeint, versuche es einfach noch einmal. Gruß— Spuki ^Séance 20:49, 4. Apr. 2011 (CEST)

Tatsache. Ok, ich habs nochmal überarbeitet. Ist garnicht so einfach ^^. Noch irgendwas?--Malibu9 21:23, 4. Apr. 2011 (CEST)

Von mir nicht, habe nur mal eben einen Link korrigiert. Jetzt heißt es warten, ob sich da noch jemand meldet oder Deine Änderung vielleicht gesichtet wird. Gruß— Spuki ^Séance 21:25, 4. Apr. 2011 (CEST)

Ok, danke. Grüße--Malibu9 21:28, 4. Apr. 2011 (CEST)

Also ich habe das ganze aus wieder rueckgaengig gemacht. Vorab: Bitte vermeide doch in Zukunft die Nutzung von solchen Farben, das macht es in der Egel nicht lesbarer und fuer Rot-Gruen-Blinde vielleicht sogar schlimmer. Vor allem aber ist es ein Beispiel, bei dem man die Partielle Integration gar nicht braucht und deswegen sollte sowas auch nicht als Beispiel genutzt werden. Die Verwendung von ln, cos oder sinus halte ich auch fuer nicht zu viel verlangtes Grundwissen, das ist Standardstoff in der Schule. Ich habe aber mal den Logarithmus verlinkt, um die Nachvollziehbarkeit zu erhoehen. --P. Birken 15:34, 17. Apr. 2011 (CEST)

Nun, an das mit den Farben hab ich nicht gedacht. Allerdings besteht so wie es ist immer noch das Problem, welches ich oben beschrieben habe. Versetze dich doch mal zurück in eine Zeit als du noch ziemlich mit den Begriffen "Differenzieren" und "Integrieren" zu kämpfen hattest. Und wie die Variablen einer Funktion funktionieren war auch noch etwas verwirrend. Wenn man von dieser Ausgangslage ausgeht, wirkt die partielle Integration sicher wie ein Monster. Ich denke diese Sichtweise ist auch durchaus berechtigt, denn Mathematik ist Pflichtfach fürs Abi in Deutschland, und alle müssen - ob sie wollen oder nicht - auch die partielle Integration lernen.

An dieser Stelle sehe ich den Artikel noch nicht funktionieren. Wichtig wäre also an einer Stelle die Prozedur absolut klar darzustellen, und am besten mit Mitteln, die schon sicher bekannt sind. Schlecht ist, wenn die Prozedur durch zu viele nicht unmittelbar nötige Zeichen oder unbekanntes verschleiert wird. Der Logarithmus ist ein gutes Beispiel dafür. Als Schüler weiß man was ein Logarithmus ist, aber es ist zu dem Zeitpunkt wo man die partielle Integration macht neu, wie man ihn integriert/differenziert. Deshalb ist auch der Link auf den Ln nicht sonderlich nützlich, außer der Leser weiß nicht mal was der Ln ist. Gut wäre ein Link zu einer Tabelle, mit Ableitungen/Stammfunktionen. Sicher steht das im ersten Beispiel im Grunde mit drin, und für mich ist das im Moment auch ziemlich überflüssig, allerdings ist es für einen Schüler warscheinlich immernoch nicht klar genug. Um das zu umgehen war meine Idee zuerst ein Polynom partiell zu integrieren, auch wenn das nicht nötig ist. Dadurch wäre allerdings sichergestellt, dass der Schüler nicht mehr über die Funktion und ihre Ableitungen nachdenken muss, sondern sich voll auf die Prozedur konzentrieren kann.

Hab jetzt mal zum Beispiel 1 noch ein paar Anmerkungen hinzugefügt. Und bitte beschwere sich jetzt keiner darüber, dass "x" kein Polynom, sondern ein Monom ist. --Malibu9 15:19, 16. Mai 2011 (CEST)

Vorschlag: Wenn das Problem der ln ist, ersetze ihn einfach durch einen Sinus oder Kosinus. Damit sollten die Schüler vertraut sein. -- Digamma 19:37, 16. Mai 2011 (CEST)

Wie ich oben schon versucht hab klar zu machen, geht es nicht speziell um den Ln, sondern um die Tatsache, dass es kein Polynom ist. Ich hab ja oben schon versucht klar zu machen, dass ein Schüler in dem Stadium nur beim Polynom schon sicher weiß, wie mans ableitet und integriert. ALLES ANDERE, also sei es jetzt ein Ln oder ein Sinus, oder was auch immer ist noch recht neu, und damit ungeeignet in einer Erklärung. --Malibu9 12:46, 19. Mai 2011 (CEST)

Bei uns lernen die Schüler gleich als zweites nach den Ableitungen der Polynome die Ableitung von Sinus- und Kosinus. Wenn ein Jahr später Integration eingeführt wird, dann gehen sie damit schon sicher um. Wenn jemand Sinus und Kosinus nicht sicher integrieren kann, dann hat es gar keinen Sinn, ihm partielle Integration beizubringen. Um diese anzuwenden, muss er nämlich eine breite Palette von Ableitungen und Stammfunktionen zur Verfügung haben.

Ich halte es in einer Enzyklopädie nicht für sinnvoll, die partielle Integration an einem Beispiel vorzuführen, für das man sie nicht braucht. In einem Lehrbuch ist das sicher anders. Im Unterricht lasse ich die Schüler z.B. auch Produkte und Verkettungen von Polynomfunktionen mit Produktregel bzw. Kettenregel ableiten. Und zum Vergleich damit multiplizieren sie sie aus und leiten nach Potenz-, Faktor- und Summenregel ab. Aber hier ist das fehl am Platz. Wikipedia ist kein Lehrbuch. -- Digamma 20:44, 19. Mai 2011 (CEST)

Wikipedia ist kein Lehrbuch, aber auch kein Nachschlagewerk für Experten. Gerade die Mathematik Artikel sind nicht Ezyklopädie-Tauglich, da (vermutlich) für Laien (sagen wir mal, durchschnittliches Abitur) völlig unverständlich. 132.230.1.28 19:58, 12. Okt. 2011 (CEST)

Phönix aus der Asche

Vielleicht sollte man diese "Methode" auch erwähnen. Ich hatte das mal gemacht allerdings keine entsprechenden Referenzen gefunden, weshalb es revertiert wurde. Falls jmd. entsprechende Quellen vorliegen kann er diese ja hinzufügen.--McZusatz 11:27, 4. Aug. 2011 (CEST)

Nun bei Google-Books konnte ich dazu nichts finden. Mittels Google findet man dafür aber einige Erwähnungen in Foren, jedoch denke ich sollte man mit der Erwähnung des Begriffs "Phönix aus der Asche" warten, bis dies in einem Lehrbuch auftaucht. Grüße --Christian1985 (Disk) 13:59, 2. Nov. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 14:56, 28. Mai 2013 (CEST)

Verallgemeinerungen durch partielle Integration

Ein kurzer Abschnitt zu verallgemeinerten Ableitungen (schwache Ableitungen) und verallgemeinerten Funktionen (Distributionen) wäre schön, in dem die Bedeutung der partiellen Integration für diese Theorien kurz erklärt wird. Außerdem der Hinweis, dass pI auch für H^1-Funktionen gilt. --Van Tuile (Diskussion) 10:32, 4. Apr. 2012 (CEST)

Hast Du eine Quelle für die partielle Integration von $H^{1}$-Funktionen? Du meinst doch die Sobolev-Funktionen? So spontan klingt das für mich recht kompliziert, da man $H^{1}$-Funktionen nicht so ohne weiteres auswerten kann. Wäre das Thema nicht besser in Gaußscher Integralsatz aufgehoben? Grüße --Christian1985 (Disk) 14:08, 2. Nov. 2012 (CET)

Eine Quelle habe ich grade nicht. Genau die meine ich. In Gaußscher Integralsatz passt das nicht, da es dort um etwas ganz anderes geht. Der Witz ist ja, dass schwach differenzierbare Funktionen genau diejenigen sind, für die nach Multiplikation mit bestimmten "Test-"Funktionen noch die Regel der partiellen Integration gilt, auch wenn sie nicht ohne weiteres ausgewertet werden können. So wird der Begriff der schwachen Differenzierbarkeit in der Regel motiviert durch die Regel der partiellen Integration. Das könnte man halt andeuten und auf die Artikel verweisen. Auf die Spitze getrieben wird dies im Konzept der Distributionen, auch darauf könnte man verweisen. --Van Tuile (Diskussion) 13:12, 25. Mai 2013 (CEST)

Achso nun verstehe ich was du meinst! Ich mache die Tage mal einen vorschlag wie man das in dem Artikel ergänzen kann.--Christian1985 (Disk) 11:31, 26. Mai 2013 (CEST)

Ich habe im Artikel mal einen Vorschlag gemacht.--Christian1985 (Disk) 14:54, 28. Mai 2013 (CEST)

Nur als Anregungen: Man könnte die Bezeichnung $C_{c}^{\infty }(I)$ früher erklären, da wo sie eingeführt wird. Wer das Konzept noch nicht kennt, kennt wahrscheinlich auch diese Bezeichnung nicht und könnte irritiert sein. Dass der Randterm ein Term ohne Integral ist, gilt nur im eindimensionalen Fall, was evtl. auch zu Verwirrung führen kann. Warum Funktionen mit kompaktem Träger auf offenem Intervall auf dem Rand verschwinden, könnte man etwas ausführlicher erklären. Ist ja nicht kompliziert, aber ich glaube auch hier, wer das Konzept nicht kennt, kennt diese Argumentation wahrscheinlich nicht und kommt nicht sofort drauf. Statt $L^{2}$ könnte man natürlich auch allgemeiner $L^{p}$ nehmen, und noch allgemeiner kann die schwache Ableitung in einem anderen Raum liegen als die Funktion selbst. Aber wenn du dich bewusst für diese Einschränkung entschieden hast, dann mach es so, man muss ja nicht alles bis zur letzten Verallgemeinerung darstellen. Die Bezeichnung ${\mathcal {D}}'(I)$ würde ich weglassen. Wer Distributionen nicht kennt, kann damit nichts anfangen und lieber den Artikel dazu lesen. Wer Distributionen kennt, dem/ der reicht auch das Wort Distribution. Viele Grüße, --Van Tuile (Diskussion) 12:33, 31. Mai 2013 (CEST)

Was mit $C_{c}^{\infty }(I)$ gemeint ist, steht doch direkt im zweiten Satz. Oder willst du dort den Begriff Testfunktion stehen haben? Ich hielt es für übersichtlicher ihn erst später zu bringen, aber das ist wohl Geschmacksache. Ansonsten habe ich mich bewusst auf den eindimensionalen $L^{2}$-Fall beschränkt, weil ich dachte das sei der einfachste. Für den allgemeinen Fall ist ja der Artikel Schwache Ableitung da. Dinge die Dir nicht ausführlich genug sind, kannst Du ja gerne erweitern oder präzisieren. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 19:41, 3. Jun. 2013 (CEST)

ausgezeichnete Stammfunktion

Im Artikel steht hier:

Wegen $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)\,$ erkennt man, dass es keine ausgezeichnete Stammfunktion gibt.

Was ist eine „ausgezeichnete Stammfunktion“? Grüße, --Martin Thoma 19:00, 15. Sep. 2012 (CEST)

Zu einer gegebenen Funktion $f$ gibt es immer eine Menge von Funktionen $\{\int f+c|c\in \mathbb {R} \}$ die alle eine Stammfunktion von $f$ sind. Keine von diesen Funktionen ist dabei besonders hervorzuheben, das ist damit gemeint, dass es keine ausgezeichnete Stammfunktion gibt. --Christian1985 (Disk) 14:05, 2. Nov. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 14:55, 28. Mai 2013 (CEST)

Ich habe mich genau das selbe gerade auch gefragt. Im Artikel zu Stammfunktion finde ich dazu auch nichts. Irrogalp (Diskussion) 16:42, 15. Nov. 2013 (CET)

Vorzeichenfehler in Beispiel 2?!

Hi, ich glaube ich habe einen Vorzeichenfehler entdeckt. Bin mir aber nicht 100%ig sicher. Sollte Beispiel 2 nicht so lauten? Könnte da noch jemand drüber schauen.

${\begin{aligned}\int e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)\,\mathrm {d} x&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)-\int e^{x}\cdot (-2x)\,\mathrm {d} x\\&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)+e^{x}\cdot (-2x)-\int -2\cdot e^{x}\,\mathrm {d} x\\&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)+e^{x}\cdot (-2x)+2\cdot e^{x}\\&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}-2x+2\right)\\&=e^{x}\cdot \left(-x^{2}-2x+4\right)\end{aligned}}$

Gruß --Sanjo (Diskussion) 16:31, 15. Jan. 2013 (CET)

Du hast das Minuszeichen vor dem rechten Integral in der ersten Zeile ignoriert. Aus diesem Minus zusammen mit dem Minus von $(-2x)$ wird ein Plus. Du kannst die Rechnung übrigens einfach nachprüfen, indem du das Ergebnis nach der Produktregel ableitest. --Digamma (Diskussion) 17:51, 15. Jan. 2013 (CET)

Stimmt, danke für die schnelle Antwort. --80.139.215.82 18:50, 15. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 14:56, 28. Mai 2013 (CEST)

Beispiel 2

Sollte man bei dem Beispiel 2 von der ersten zur zweiten Zeile vielleicht noch mal erwähnen, dass eine eine zweite partielle Integration durchgeführt wird. Oder ist dieser Schritt auf andere Weise leicht ersichtlich?

-- MR89 05.02.13 (11:48 Uhr) (ohne Benutzername signierter Beitrag von 141.76.104.58 (Diskussion))

Du hast schon recht, es wird ein zweites Mal partiell integriert. Und man kann das durchaus erwähnen. Nur zu. --Digamma (Diskussion) 14:50, 5. Feb. 2013 (CET)

Partielle Integration von ${\frac {1}{(1+x^{2})^{2}}}$

Übertragen von Benutzer Diskussion:Digamma:

Hallo Digamma,

vor einiger Zeit hab ich im Artikel Partielle Integration unter dem Punkt "Gebrochenrationale Funktion" eine Änderung vorgenommen. Ich war mit der alten Aussage nicht zufrieden da sie den Leser in meinen Augen verwirrt hat (jedenfalls hat sie mich anfangs verwirrt denn man integriert "irgendeine" Funktion die nichts mit dem zutun hat was man sucht). Daher hab ich den Text wie folgt geändert:

Die Stammfunktion von ${\frac {1}{(1+x^{2})^{2}}}$ lässt sich nicht direkt bestimmen. Man weiß jedoch, dass die Integraldarstellung $\arctan x=\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ des Arkustangens die gesuchte Funktion als Lösung enthält. Durch partielle Integration der Integraldarstellung ergibt sich dann

Leider hast du das mit dem Kommentar "Aber so kann man das nicht schreiben" Rückgängig gemacht. Ich geb zu, dass meine Änderung nicht perfekt war aber wir sollten dennoch versuchen diese zu verbessern und sie nicht einfach so lassen wie sie ist. Oder siehst du das anders/was findest du so schlecht an meiner Version? Vielen Dank für deine Arbeit :-) --Hmilch (Diskussion) 18:24, 6. Jun. 2014 (CEST)

Ich verstehe, dass du mit der alten Formulierung nicht zufrieden warst. Die Aussage: "Man weiß jedoch, dass die Integraldarstellung $\arctan x=\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ des Arkustangens die gesuchte Funktion als Lösung enthält." ergibt für mich aber keinen Sinn. Was ist denn hier mit "Lösung" gemeint? Und inwiefern enthält die Integraldarstellung diese? Und inwiefern weiß man das? Meiner Meinung nach "weiß" man vielleicht, dass $\arctan x=\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ gilt. Dass man dies benutzen kann, um das gesuchte Integral von ${\frac {1}{(1+x^{2})^{2}}}$ zu berechnen, ist aber überhaupt nicht klar. Zumindest mir ist nicht klar, ob hinter dem Vorgehen eine Strategie steckt oder nur Ausprobieren. Insofern empfinde ich deine Formulierung eher als verwirrend. --Digamma (Diskussion) 19:53, 7. Jun. 2014 (CEST)

Ja genau... es ist halt ein Trick und man "zäumt das Pferd von hinten auf". Irgendjemend (= man weiß) hat halt mal rausgefunden, dass die Stammfunktion von $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ das gesuchte Integral $\int {\frac {1}{(1+x^{2})^{2}}}$ enthält. Ist dann vielleicht:

Zum Lösen von $\int {\frac {1}{(1+x^{2})^{2}}}$ bedarf es eines Trickes. Es ist bekannt, dass die Lösung von $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ das gesuchte Integral enthält:

ich würde den Zusatz $\arctan x$ gleich ganz weglassen denn das ist für die Lösung nicht wichtig und verwirrt den Leser nur noch mehr. Oder stört dich das "es ist bekannt" weil es dem Leser und mir natürlich nicht bekannt ist aber wie soll man das "von hinten aufzäumen" sonst motivieren? Hmilch (Diskussion) 18:40, 9. Jun. 2014 (CEST)

Mir gefällt die Formulierung " dass die Lösung von $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ das gesuchte Integral enthält" noch nicht. Erstens hat ein Integral keine "Lösung" und zweitens verstehe ich nicht, inwiefern die "Lösung" von $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ das gesuchte Integral enthalten soll.

Mir kommt die Rechnung auch unnötig kompliziert vor und ich bezweifle, (1.) ob hier tatsächlich partielle Integration das Mittel der Wahl ist, und (2.) ob es ein sinnvolles Beispiel ist. Deshalb plädiere ich eher dafür, das Beispiel ganz zu löschen. --Digamma (Diskussion) 10:31, 10. Jun. 2014 (CEST)

Naja nach dem Lösen des Integrals kommt

${\begin{aligned}\arctan x&=\int 1\cdot {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=...={\frac {x}{1+x^{2}}}+2\arctan x-2{\color {Blue}\int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{2}}}}\end{aligned}}$

raus... daher, mal löst das Integral vom arctan und erhält als Nebenprodukt die Lösung für das gesuchte Integral. Wie wäer es wenn ich das Wort "Lösung" durch "Stammfunktion" ersetze... vielleicht ist es sinnvoll auch in dem Artikel die Formel einzufärben (auch wenn das seltsam ausschaut) --Hmilch (Diskussion) 15:06, 13. Jun. 2014 (CEST)

Ein Integral wird nicht gelöst, sondern berechnet. Da es um unbestimmte Integrale geht, kann man auch Stammfunktion schreiben (aber nicht vom Integral, sondern vom Integranden). Aber man löst nicht das Integral vom arctan. Denn arctan ist ja die Stammfunktion. Im Grunde wird arctan abgeleitet. Nach meinem Gefühl ist aber gar nicht der arctan-Term der entscheidende, sondern der Term ${\frac {x}{1+x^{2}}}$. Und wie gesagt: Ich glaube, dass das Beispiel hier zu kompliziert ist und zu wenig Erkenntnisgewinn bringt. Ich bezweifle, dass es tatsächlich eine sinnvollen Anwendung der partiellen Integration ist. Bei der partiellen Integration startet man normalerweise mit dem Integral, das man berechnen möchte. --Digamma (Diskussion) 15:25, 13. Jun. 2014 (CEST)

OK, dann werf den Abschnitt raus denn das Beispiel betont mehr das Umstellen der Gleichung als das partielle Integrieren! Die selbe Herleitung ist übrigens auch noch mal unter Integralrechnung im Abschnitt "Spezielle Verfahren" zu finden. Hmilch (Diskussion) 10:22, 18. Jun. 2014 (CEST)

Ich habe das Beispiel jetzt entfernt. --Digamma (Diskussion) 08:15, 1. Jul. 2014 (CEST)

Zu modern

Die angegebene Formel

$\int _{a}^{b}y(x)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left([x\cdot y(x)]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}y(x)-x\cdot y'(x)\mathrm {d} x\right)\,.$

erscheint mir nicht wohlgeformt zu sein. Fehlt auf der rechten Seite eine Klammer oder ein dx?

Ich denke, es fehlt ein Klammernpaar. Ich ergänze es mal. --Digamma (Diskussion) 15:23, 29. Apr. 2018 (CEST)

Partielle Integration von $\arcsin(x)$

Hallo, wenn ich den im Zusammenhang mit der Integration des Logarithmus per partieller Integration demonstrierten „Einsertrick“ bei der Integration des Arkussinus nachvollziehen will, ergibt sich zunächst einmal folgende Gleichung:

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=[x\cdot \arcsin(x)]-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

Ok, und wenn mir nun auffällt, dass der Integrand des Integrals ganz rechts das „Strickmuster“ $g'(x)/f'(g(x))$ bedient, komme ich gemäß der folgenden Zeile zu der allenthalben bekannten Lösung des obigen Integrals:

$\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=[-{\sqrt {1-x^{2}}}]\quad \Rightarrow \quad \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=[x\cdot \arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}]$

Was aber, wenn mir das nicht auffällt, ich vielmehr versuche, das Integral ganz rechts durch nochmalige partielle Integration zu bestimmen? Dann nämlich komme ich auf folgendes:

$\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\int x\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=[x\cdot \arcsin(x)]-\int 1\cdot \arcsin(x)\,\mathrm {d} x$

Und im Endeffekt dazu, genau einmal im Kreis gerechnet zu haben:

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=[x\cdot \arcsin(x)]-[x\cdot \arcsin(x)]+\int 1\cdot \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x$

Nun sollte doch aber bei einer mathematischen Aufgabe unabhängig davon, welchen Lösungsweg man wählt, solange man dabei alle „Spielregeln“ einhält, stets dasselbe korrekte Ergebnis herauskommen, oder? Wo also liegt da bei Lösungsweg Nummer 2 der Fehler? --Qniemiec (Diskussion) 22:35, 28. Jan. 2019 (CET)

Ja, wenn man partielle Integration mehrfach anwendet, ist es wichtig, dass man es immer in „dieselbe Richtung“ macht. Sonst dreht man sich im Kreis … -- HilberTraum (d, m) 00:16, 29. Jan. 2019 (CET)

Hallo HilberTraum, woran erkenne ich das mit "immer 'derselben Richtung'"? Denn es gibt ja zahlreiche Beispiele, wo man die partielle Integration von zB. sin⁶(x) nach eben dem Prinzip "und dann, und dann, und dann..." so lange fortführt, bis auch das letzte Integral am Ende der Kette sich "normal" integrieren lässt - im obigen Fall aber endet man damit, obwohl man scheinbar alles richtig gemacht hat, plötzlich in einer Sackgasse. --Qniemiec (Diskussion) 11:32, 29. Jan. 2019 (CET)

Man hat ja bei der partiellen Integration ein Integral $\int f(x)g(x)dx$ und man muss sich entscheiden, ob $f$ oder $g$ differenziert werden soll. Wenn man die partielle Integration mehrfach anwendet, muss man sich immer für dieselbe Funktion entscheiden, um etwas Neues zu bekommen. Wenn man z. B. im ersten Schritt $f$ differenziert und von $g$ eine Stammfunktion nimmt und im zweiten Schritt umgekehrt, dann bekommt man wieder das Integral, mit dem man angefangen hat. -- HilberTraum (d, m) 20:22, 29. Jan. 2019 (CET)

Danke. :-) --Qniemiec (Diskussion) 14:45, 5. Mär. 2019 (CET)

Vermeitlich einfacheres Beispiel

Ich finde als Beispiel geeigneter $\int _{0}^{1}xe^{x}dx$. Es kommt ein glatter Wert raus, und die vorkommenden Stammfunktionen und Ableitungen sind noch ein bisschen einfacher. Ich halte diesen Klassiker als das leichteste nichttriviale Beispiel. Was meint ihr dazu? --Mathze (Diskussion) 13:07, 9. Mär. 2023 (CET)

Sehe ich auch so. --Digamma (Diskussion) 21:23, 11. Mär. 2023 (CET)