Tschebyschow-Funktion

mathematische Funktion
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Die Tschebyschow-Funktion, etwa im Englischen auch Chebyshev-Funktion oder ähnlich bezeichnet, ist eine von zwei zahlentheoretischen Funktionen, die nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind. Sie erhalten durch ihren Zusammenhang mit der Primzahlzählfunktion und dem Primzahlsatz und damit der Riemannschen Zeta-Funktion an Bedeutung.

Die erste Tschebyschow-Funktion, üblicherweise mit oder bezeichnet, ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis :

Die zweite Tschebyschow-Funktion ist die summierte Funktion der Mangoldt-Funktion:

wobei die Mangoldt-Funktion definiert ist als

Grundlegende Eigenschaften

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Erstere Tschebyschow-Funktion lässt sich auch darstellen als

 

wobei   die Primfakultät bezeichnet.

Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis  :

 

Nach Erhard Schmidt gibt es für jedes positive reelle   Werte für  , sodass

 

und

 

unendlich oft.

Asymptotik

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Es gilt

 

d. h.

 

Ebenso gilt

 

Pierre Dusart fand eine Reihe von Schranken für die beiden Funktionen:[1]

 
 
 
 
 
 

Verwandtschaft der beiden Funktionen

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Es gilt

 

wobei   ganz und dann durch   und   eindeutig bestimmt ist.

Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch

 

Man bemerke, dass   für  

Die „exakte Formel“

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1895 bewies Hans Karl Friedrich von Mangoldt folgende Formel, die im Englischen auch als „explicit formula“ bezeichnet wird:[2]

 

Dabei ist   und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe läuft über alle nichttrivialen Nullstellen   der Riemannschen Zeta-Funktion  .

Referenzen

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  1. Pierre Dusart: Sharper bounds for ψ, θ, π, pk. In: Rapport de recherche n° 1998-06, Université de Limoges. PDF
  2. Eric W. Weisstein: Explicit Formula. In: MathWorld (englisch).
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