Transversalitätssatz

Satz der Differentialtopologie

Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Sei   eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und   eine Untermannigfaltigkeit von  . Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion   (und jeder Metrik auf  ) eine  -Approximation von  , die transversal zu   ist.[1]

Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung   ist transversal zur Untermannigfaltigkeit  , wenn

 

gilt. (Insbesondere auch wenn  .) Eine Abbildung   ist eine δ-Approximation von   falls

 

gilt. Für hinreichend kleine   ist jede δ-Approximation homotop zu  . Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu   homotopen Abbildung, die transversal zu   ist. Zu jedem   gibt es ein  , so dass es zu jeder δ-Approximation   von   eine Homotopie   zwischen   und   gibt, bei der für jedes   die Abbildung   eine ε-Approximation von   ist.[2]

Beispiele

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  •   ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes   die Abbildung   transversal zur x-Achse.
  • Falls  , dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung   eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu   ist.

Relative Version und Homotopietransversalitätssatz

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Sei   eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und   eine Untermannigfaltigkeit von  . Sei   eine Untermannigfaltigkeit von   und die Einschränkung   sei transversal zu  . Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion   (und jeder Metrik auf  ) eine  -Approximation von  , die transversal zu   ist und auf   mit   übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien   differenzierbare Mannigfaltigkeiten und   eine Untermannigfaltigkeit von  . Sei   eine differenzierbare Abbildung, für die   und   transversal zu   sind. Dann gibt es eine Abbildung  , die transversal zu   ist und auf   bzw.   mit   bzw.   übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.

Einzelnachweise

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  1. René Thom: Un lemme sur les applications différentiables. In: Boletin de la Sociedad Matemática Mexicana/2. Serie, Bd. 1 (1956), pp. 59–71, ISSN 0037-8615.
  2. Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (Lecture Notes in Mathematics; Bd. 178). Springer Verlag, Berlin 1970, ISBN 3-540-05341-7.