Der Satz von Ryll-Nardzewski ist ein Satz aus der Modelltheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Logik. Er charakterisiert -kategorische Theorien. Benannt ist er nach dem polnischen Mathematiker Czesław Ryll-Nardzewski.

Satz von Ryll-Nardzewski

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Sei   eine vollständige Theorie über einer abzählbaren Sprache. Mit   wird der Raum der vollständigen  -Typen bezeichnet.

Dann ist äquivalent:

  •   ist  -kategorisch.
  •   ist für alle   endlich.
  • Bis auf  -Äquivalenz gibt es für jedes   nur endlich viele Formeln  

Weitere Äquivalenzen

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Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Satz von Ryll-Nardzewski gilt, dass äquivalent ist:

  •   ist  -kategorisch.
  • Jedes abzählbare Modell von   ist saturiert.

Beispiele

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Dichte Lineare Ordnung ohne Endpunkte

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Sei   ein Modell der Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte und

 

und ohne Beschränkung der Allgemeinheit

 

Ein vollständiger Typ über   wird entweder von einer Formel der Form:

 

oder der Form

 

erzeugt. Das lässt sich durch Quantorenelimination beweisen.

Die Menge der Typen ist endlich, die Theorie ist also  -kategorisch.

Theorie mit unendliche vielen Konstantensymbolen

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Die Theorie   über der Sprache   mit den Axiomen   hat abzählbar viele vollständige 1-Typen: Die von der Formel   erzeugten Typen sind die isolierten Typen, der von der Menge   erzeugte Typ ist der einzige nicht-isolierte Typ. Die Theorie ist daher nicht  -kategorisch. (Sie ist aber  -kategorisch.)

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Literatur

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  • Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
  • Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2
  • Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.