Satz von Ryll-Nardzewski

Der Satz von Ryll-Nardzewski ist ein Satz aus der Modelltheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Logik. Er charakterisiert $\omega$-kategorische Theorien. Benannt ist er nach dem polnischen Mathematiker Czesław Ryll-Nardzewski.

Satz von Ryll-Nardzewski

Sei ${\mathcal {T}}$ eine vollständige Theorie über einer abzählbaren Sprache. Mit $S_{n}(T)$ wird der Raum der vollständigen $n$-Typen bezeichnet.

Dann ist äquivalent:

• ${\mathcal {T}}$ ist $\omega$-kategorisch.
• $S_{n}(T)$ ist für alle $n$ endlich.
• Bis auf ${\mathcal {T}}$-Äquivalenz gibt es für jedes $n$ nur endlich viele Formeln $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Weitere Äquivalenzen

Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Satz von Ryll-Nardzewski gilt, dass äquivalent ist:

• ${\mathcal {T}}$ ist $\omega$-kategorisch.
• Jedes abzählbare Modell von ${\mathcal {T}}$ ist saturiert.

Beispiele

Dichte Lineare Ordnung ohne Endpunkte

Sei $M$ ein Modell der Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte und

$A=\{a_{1},\ldots a_{n}\}\subset M$

und ohne Beschränkung der Allgemeinheit

$i<j\Rightarrow a_{i}<a_{j}$

Ein vollständiger Typ über $A$ wird entweder von einer Formel der Form:

$\phi _{j}(x):=x=a_{j}\ (1\leq j\leq n)$

oder der Form

$\phi _{i,j}(x):=a_{i}<x<a_{j}\ (1\leq i<j\leq n)$

erzeugt. Das lässt sich durch Quantorenelimination beweisen.

Die Menge der Typen ist endlich, die Theorie ist also $\omega$-kategorisch.

Theorie mit unendliche vielen Konstantensymbolen

Die Theorie ${\mathcal {T}}$ über der Sprache $\{c_{i}\mid i<\omega \}$ mit den Axiomen $\{c_{i}\neq c_{j}\mid i<j\}$ hat abzählbar viele vollständige 1-Typen: Die von der Formel $\phi _{i}:=x=c_{i}$ erzeugten Typen sind die isolierten Typen, der von der Menge $\{x\neq c_{i}\mid i<\omega \}$ erzeugte Typ ist der einzige nicht-isolierte Typ. Die Theorie ist daher nicht $\omega$-kategorisch. (Sie ist aber $\omega _{1}$-kategorisch.)

Weblinks

• Martin Ziegler: Skript Modelltheorie 1. (PDF; 649 kB)

Literatur

• Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
• Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2
• Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.