Satz von Kiepert

Der Satz von Kiepert, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine Aussage in der Elementargeometrie über Dreiecke beziehungsweise über ein spezielles aus Dreiecken erzeugtes Sechseck.

Ausgangsdreieck: $\triangle ABC$
ähnliche Dreieche: $\triangle ABF$, $\triangle BCE$, $\triangle ACD$
alle grünen Winkel sind gleich groß
$P=FC\cap AE\cap FC$

Errichtet man über den Seiten eines beliebigen Dreiecks $\triangle ABC$ ähnliche gleichschenklige Dreiecke $\triangle ABF$, $\triangle BCE$ und $\triangle ACD$, dann besagt der Satz von Kiepert, dass sich die drei Geraden $FC$, $AE$ und $BD$ in einem gemeinsamen Punkt $P$ schneiden.

Der Satz von Kiepert kann zum Satz von Jacobi verallgemeinert werden, bei dem die über den Seiten des Ausgangsdreiecks errichteten Dreiecke weder ähnlich noch gleichseitig sein müssen, sondern lediglich einer schwächeren Anforderung genügen.

Sind alle Winkel des Ausgangsdreieck kleiner als $120^{\circ }$ und besitzen die errichteten Dreiecke einen Basiswinkel von $60^{\circ }$ dann ist der Geradenschnittpunkt $P$ der (erste) Fermat-Punkt des Ausgangsdreiecks. Beträgt bei einem beliebigen Ausgangsdreieck der Basiswinkel der errichteten Dreiecke $45^{\circ }$, so entspricht der Geradenschnittpunkt $P$ dem (ersten) Vecten-Punkt.

Lässt man den Basiswinkel der errichteten Dreiecke alle möglichen Werte zwischen $-90^{\circ }$ und $90^{\circ }$ durchlaufen, so bildet der geometrische Ort aller zugehörigen Geradenschnittpunkte die Kiepert-Hyperbel. Ein negativer Basiswinkel bedeutet hierbei, dass die Dreiecke über den Seiten des Ausgangsdreiecks nach innen statt nach außen errichtet werden.

Literatur

• Georg Glaeser: Geometry and Its Applications in Arts, Nature and Technology. Springer, 2020, ISBN 978-3-030-61398-3, S. 19

Weblinks

• Kiepert's And Jacobi's Theorems auf cut-the-knot.org