Satz von Datko-Pazy

Resultat aus der Funktionalanalysis benannt nach Richard Frank Datko und Amnon Pazy

Der Satz von Datko-Pazy ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis über die Stabilität von -Halbgruppen auf Banach-Räumen. Das Theorem findet Anwendung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Satz ist nach Richard Frank Datko und Amnon Pazy benannt. Datko bewies den Satz zuerst für den Fall und Pazy verallgemeinert ihn dann auf .

Es existieren Verallgemeinerungen, zum Beispiel von Zabczyk ([1]), Rolewicz ([2]) sowie eine stochastische Variante ([3]).

Satz von Datko-Pazy

Bearbeiten

Sei   eine  -Halbgruppe auf einem Banach-Raum  .

Gleichmäßige exponentielle Stabilität

Bearbeiten

  ist gleichmäßig exponentiell stabil, wenn zwei Konstanten   und   existieren, so dass

 

für alle  .

Falls für ein   gilt

 

d. h.   für alle  , dann ist   gleichmäßig exponentiell stabil.[4]

Literatur

Bearbeiten
  • Walter Littman: A generalization of a theorem of datko and pazy. In: Springer Berlin Heidelberg (Hrsg.): Advances in Computing and Control. 1989, ISBN 978-3-540-46260-6, S. 318–323.
  • Jan van Neerven: Lower semicontinuity and the theorem of Datko and Pazy. In: Integral Equations and Operator Theory. Band 42, 2002, S. 482–492, doi:10.1007/BF01270925.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. J. Zabczyk: Remarks on the control of discrete-time distributed parameter systems. In: SIAM J. Control. Band 12, 1974, S. 721–735.
  2. S. Rolewicz: On uniform N-equistability. In: J. Math. Anal. Appl. Band 115, 1986, S. 434–441.
  3. Bernhard Haak, Jan van Neerven und Mark Veraar: A stochastic Datko–Pazy theorem. In: Journal of Mathematical Analysis and Applications. Band 329, Nr. 2, 2007, S. 1230–1239, doi:10.1016/j.jmaa.2006.07.051.
  4. Walter Littman: A generalization of a theorem of datko and pazy. In: Springer Berlin Heidelberg (Hrsg.): Advances in Computing and Control. 1989, ISBN 978-3-540-46260-6, S. 318--323.