Roys Identität (Aussprache wie französisch roi, [ʁwa-][1]) ist ein bedeutender Satz innerhalb der Mikroökonomie. Er konstatiert eine wichtige Beziehung zwischen der marshallschen Nachfrage und der indirekten Nutzenfunktion. Benannt wurde er nach dem französischen Ökonomen René Roy.

Darstellung und Bedeutung

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Trotz der in vielerlei Hinsicht bestehenden Analogie zwischen dem Konzept der indirekten Nutzenfunktion und demjenigen der Ausgabenfunktion gibt es auf den ersten Blick keine unmittelbare Analogie zu Shephards Lemma, nach dem die Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis der korrespondierenden Hicks’schen Nachfragefunktion entspricht. Eine geringfügige Modifikation liefert allerdings dennoch eine gewisse Vergleichbarkeit. Die Beziehung wird als Roys Identität bezeichnet.

Roys Identität[2]: Sei   stetig und streng monoton steigend. Sei weiter   in einer Stelle   differenzierbar und  . Dann gilt für alle   ( ):

 

Hinsichtlich der beiden Anforderungen des Theorems an die Nutzenfunktion würde es dabei sogar genügen vorauszusetzen, dass   stetig ist und die zugrunde liegende Präferenz-Indifferenz-Relation   die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung erfüllt sowie konvex ist.[3] Anmerkung: Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges   und für jede  -Umgebung   um   ein   existiert, für das gilt:   (siehe auch Präferenzordnung). Die praktisch gebräuchlichere stärkere Annahme der strengen Monotonie ermöglicht aber (zusammen mit derjenigen der Differenzierbarkeit der indirekten Nutzenfunktion) auch einen einfacheren Beweis der Beziehung.

Die Lagrangefunktion des Nutzenmaximierungsproblem (vgl. der Artikel Marshallsche Nachfragefunktion) lautet  . Das Envelope-Theorem impliziert darauf angewandt, dass

 

sowie

 

(2) eingesetzt in (1) liefert dann sofort Roys Identität.

Siehe auch

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Literatur

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  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1.
  • René Roy: La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens. In: Econometrica. 15, 1974, S. 205–225.
  • Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
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Einzelnachweise

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  1. Vgl. Peter Hammond und Knut Sydsaeter: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Deutschland, 2008, ISBN 3-8273-7357-3, S. 601.
  2. Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 29; mit leicht schwächeren Annahmen Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 73 f.
  3. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 59.