Rosenbrock-Wanner-Verfahren

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Die Rosenbrock-Wanner-Verfahren (oder ROW-Methoden, oft auch nur als Rosenbrock-Verfahren bezeichnet) sind in der Numerik spezielle Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Sie sind benannt nach Howard H. Rosenbrock und Gerhard Wanner.

Bei den Einschrittverfahren besitzen bestimmte implizite Runge-Kutta-Verfahren für steife Anfangswertprobleme sehr gute Stabilitätseigenschaften, ihre praktische Durchführung erfordert aber wegen der Lösung von nichtlinearen Gleichungen einen hohen Rechenaufwand. Aus diesem Grund betrachtet man linear-implizite Verfahren wie die Rosenbrock-Wanner-Verfahren.

Verfahrens-Struktur

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Wie bei Runge-Kutta-Verfahren besitzen die Verfahren   verschiedene Stufen, welche die Lösung   des Systems   an Zwischenstellen   eines Zeitschritts der Schrittweite   approximieren. Im Unterschied zu Runge-Kutta-Verfahren sind aber nur lineare Gleichungssysteme zu lösen. Das Verfahren besitzt Koeffizientensätze  , die Verfahrensgestalt ist

 
 

In jeder Stufe ist also ein lineares  -System zu lösen, wenn   ist. Die Matrix   in den Stufensystemen ist die Jacobimatrix am Anfang des Zeitschritts,  , zwischen den Verfahrenskoeffizienten fordert man die Beziehungen

 

Wenn alle   gleich sind, ist beim Gauß-Algorithmus die teure LR-Zerlegung nur einmal zu berechnen. Die Verfahren können ebenfalls durch ein (erweitertes) Butcher-Tableau

 

beschrieben werden, wobei   und   untere Dreieckmatrizen sind. Eine ursprüngliche Form der Verfahren ohne die Zusatzterme mit  , geht auf H.H. Rosenbrock (1963) zurück, die vollständige Form wurde 1977 von G. Wanner eingeführt.

Konsistenz und Stabilität

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Die ROW-Methoden lassen sich so interpretieren, dass man bei einem diagonal-impliziten Runge-Kutta-Verfahren genau einen Schritt des Newton-Verfahrens ausführt. Daher sind für ein Verfahren der Ordnung   mindestens   Stufen erforderlich. Bei geeigneter Wahl des Diagonalwerts   existieren A-stabile Verfahren.

Beispiel-Verfahren

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Das zwei-stufige Verfahren mit dem Tableau

 

und   besitzt Ordnung 3 und ist A-stabil. Es gibt eine effiziente ROW-Methode GRK4T von Kaps und Rentrop mit   Stufen und Ordnung  , bei dem über ein eingebettetes Verfahren auch eine Schrittweitensteuerung möglich ist.

Verallgemeinerungen

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Wenn man die Bedingung   fallen lässt, bekommt man sogenannte W-Methoden, bei denen man eine grobe Approximation   der Jacobimatrix von   verwenden kann, etwa indem man die LR-Zerlegung von   nicht in jedem Zeitschritt neu berechnet. Für diesen Typ existieren aber nur Verfahren geringer Ordnung.

Literatur

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  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag.
  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems. Second Revised Edition, Springer Verlag.
  • K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen. Springer Spektrum, 2012.