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Das Quantisierungstheorem liefert im Rahmen der Signaltheorie bei der Quantisierung, dies ist die Überführung von einem wertkontinuierlichen Signal in ein wertdiskretes Signal, eine Aussage über die fehlerfreie Rekonstruierbarkeit des ursprünglichen wertkontinuierlichen Signals. Es stellt das Pendant zu dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem dar, welches die Grenzen zur fehlerfreien Rekonstruktion im Zeitbereich bei der Abtastung beschreibt. Das Quantisierungstheorem wurde 1961 von Bernard Widrow mit Hilfe der Fouriertransformation von Verteilungsdichten formuliert und ist dem Bereich der statistischen Signalverarbeitung zuzuordnen.[1]

BeschreibungBearbeiten

 
Zonenabtastung und Spektraldarstellung

Ein amplitudenkontinuierliches und bandbegrenztes Signal   mit einer Verteilungsdichtefunktion  , wie in der Abbildung rechts dargestellt, wird durch den Quantisierer Q in ein amplitudendiskretes Signal   mit der Verteilungsdichtefunktion   übergeführt. Die kontinuierliche Verteilungsfunktion   wird durch Integration über die einzelnen Quantisierungsintervalle mit der Breite Q, in der Skizze begrenzt durch die strichlierten Bereiche, in eine diskrete Verteilungsdichtefunktion   umgewandelt. Die beiden zugehörigen Frequenzspektren   und   der Verteilungsdichtefunktionen, welche durch die Fouriertransformation und die diskrete Fourier-Transformation   gebildet werden, sind in der Skizze rechts mit roten Verlauf beispielhaft dargestellt. Durch die Diskretheit der Verteilungsdichtefunktion   weist das zugehörige Spektrum   eine periodische Fortsetzung mit der Quantisierungsfrequenz   auf.

Das Quantisierungstheorem besagt nun, dass wenn die Quantisierungsfrequenz   mit:

 

doppelt so groß wie die höchste Frequenzkomponente in   ist sich dann die einzelnen Frequenzkomponenten   der zeitdiskreten Verteilungsdichtefunktion nicht überlappen. Dieser Fall ist in der Abbildung rechts unten dargestellt. Nur dann ist eine Rekonstruktion der wertkontinuierlichen Verteilungsdichtefunktion   aus der quantisierten Verteilungsdichtefunktion   möglich.

Ist die doppelte Quantisierungsfrequenz kleiner als doppelte Frequenzkomponente in  , kommt es zu einer spektralen Überlappung bei der Verteilung der diskreten Verteilungsdichtefunktion und eine fehlerfreie Abbildung auf die wertkontinuierliche Verteilungsdichtefunktion ist nicht möglich.

QuellenBearbeiten

  1. Bernhard Widrow: Statistical Analysis of Amplitude-Quantized Sampled-Data Systems. In: AIEE Transactions on Applications and Industry. 1961, S. 1–14 (PDF).

LiteraturBearbeiten

  • Bernard Widrow, István Kollár: Quantization Noise: Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-88671-0.