Nielsen-Transformation

Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie

In der Mathematik sind Nielsen-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie, sie sind nach dem Mathematiker Jakob Nielsen benannt.

Definition

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Sei   eine Gruppe und   ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus  . Eine elementare Nielsen-Transformation ist eine der folgenden drei Typen von Ersetzungen:

  • Für ein   ersetze   durch  .
  • Für zwei   vertausche   und  .
  • Für zwei   ersetze   durch  .

Eine Nielsen-Transformation ist eine Folge endlich vieler elementarer Nielsen-Transformationen. Zwei geordnete Tupel heißen Nielsen-äquivalent, wenn sie durch eine Nielsen-Transformation auseinander hervorgehen.

Anwendungen

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Erzeugendensysteme freier Gruppen

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Sei   die freie Gruppe mit   Erzeugern  . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem   Elemente und ein  -Tupel   ist genau dann ein Erzeugendensystem von  , wenn die geordneten Tupel   und   Nielsen-äquivalent sind.[1][2]

Erzeugendensysteme von Flächengruppen

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Sei   die Flächengruppe vom Geschlecht  . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem   Elemente und ein  -Tupel   ist genau dann ein Erzeugendensystem von  , wenn die geordneten Tupel   und   Nielsen-äquivalent sind.[3]

Literatur

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  1. Jakob Nielsen: Über die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation. Math. Ann. 79 (1918), no.3, 269-272. doi:10.1007/BF01458209
  2. Jakob Nielsen: Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien. Math. Tidsskrift B (1921), 78-94.
  3. Heiner Zieschang: Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam. Invent. Math. 10 (1970), 4-37. doi:10.1007/BF01402968