Positive Matrix

Matrix mit positiven Einträgen
(Weitergeleitet von Nichtnegative Matrix)

In der Mathematik kommen positive Matrizen und nichtnegative Matrizen insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie, beispielsweise zur Beschreibung von Markow-Ketten, und in der Graphentheorie vor.

Definition

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Eine Matrix   heißt nichtnegativ, wenn alle ihre Einträge nichtnegativ sind:

 

Sie heißt positiv, wenn alle ihre Einträge positiv sind:

 

Anwendungen

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Eigenwerte

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Aus dem Satz von Perron-Frobenius folgt, dass eine positive Matrix einen positiven Eigenwert haben muss. Anders als bei total positiven Matrizen müssen aber nicht alle Eigenwerte positiv sein.

Beispiele

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Jede total positive Matrix ist positiv, eine positive Matrix muss aber nicht total positiv sein. Zum Beispiel ist die Matrix

 

positiv, aber nicht total positiv: die Determinante ist negativ, die Eigenwerte sind  . Dasselbe Beispiel zeigt, dass eine positive Matrix nicht positiv definit sein muss. Umgekehrt muss eine positiv definite Matrix nicht positiv sein, wie das Beispiel

 

mit den Eigenwerten   und   zeigt.

Literatur

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  • Meyer, Carl: Matrix analysis and applied linear algebra. With 1 CD-ROM (Windows, Macintosh and UNIX) and a solutions manual. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000. ISBN 0-89871-454-0 pdf (Kapitel 8.2)