Morrie's law (dt. Gesetz von Morrie ) ist eine spezielle trigonometrische Identität . Ihr Name geht auf den Physiker Richard Feynman zurück, der sie so bezeichnete, weil er sie während seiner Kindheit von einem Jungen namens Morrie Jacobs gezeigt bekommen hatte.[1]
Identität und Verallgemeinerung
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Morrie’s law lautet:[1]
cos
(
20
∘
)
⋅
cos
(
40
∘
)
⋅
cos
(
80
∘
)
=
1
8
.
{\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}
Sie ist ein Spezialfall der folgenden allgemeineren trigonometrischen Identität:[1]
2
n
⋅
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
sin
(
α
)
.
{\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}.}
Für
n
=
3
{\displaystyle n=3}
α
=
20
∘
{\displaystyle \alpha =20^{\circ }}
Morrie’s law , wenn man beachtet, dass
sin
(
160
∘
)
sin
(
20
∘
)
=
sin
(
180
∘
−
20
∘
)
sin
(
20
∘
)
=
1
{\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1}
gilt, wegen
sin
(
180
∘
−
x
)
=
sin
(
x
)
.
{\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).}
Weitere ähnliche Identitäten
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Es existiert eine ähnliche Identität für die Sinusfunktion:
sin
(
20
∘
)
⋅
sin
(
40
∘
)
⋅
sin
(
80
∘
)
=
3
8
.
{\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
Eine entsprechende Identität für die Tangensfunktion erhält man, wenn man die beiden vorherigen Identitäten durcheinander teilt:
tan
(
20
∘
)
⋅
tan
(
40
∘
)
⋅
tan
(
80
∘
)
=
3
=
tan
(
60
∘
)
.
{\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).}
Geometrischer Beweis
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Reguläres Neuneck
A
B
C
D
E
F
G
H
I
{\displaystyle ABCDEFGHI}
O
{\displaystyle O}
Umkreises . Für die Winkel gilt:
40
∘
=
360
∘
9
70
∘
=
180
∘
−
40
∘
2
α
=
180
∘
−
90
∘
−
70
∘
=
20
∘
β
=
180
∘
−
90
∘
−
(
70
∘
−
α
)
=
40
∘
γ
=
140
∘
−
β
−
α
=
80
∘
{\displaystyle {\begin{aligned}40^{\circ }&={\frac {360^{\circ }}{9}}\\70^{\circ }&={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}\\\alpha &=180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\\beta &=180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\\gamma &=140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{aligned}}}
Man betrachtet ein reguläres Neuneck
A
B
C
D
E
F
G
H
I
{\displaystyle ABCDEFGHI}
1
{\displaystyle 1}
M
{\displaystyle M}
A
B
{\displaystyle AB}
L
{\displaystyle L}
B
F
{\displaystyle BF}
J
{\displaystyle J}
B
D
{\displaystyle BD}
140
∘
{\displaystyle 140^{\circ }}
γ
=
∠
F
B
M
=
80
∘
{\displaystyle \gamma =\angle FBM=80^{\circ }}
β
=
∠
D
B
F
=
40
∘
{\displaystyle \beta =\angle DBF=40^{\circ }}
α
=
∠
C
B
D
=
20
∘
{\displaystyle \alpha =\angle CBD=20^{\circ }}
Definition des Kosinus im rechtwinkligen Dreieck nacheinander auf die Dreiecke
△
B
F
M
{\displaystyle \triangle BFM}
△
B
D
L
{\displaystyle \triangle BDL}
△
B
C
J
{\displaystyle \triangle BCJ}
[2]
1
=
|
A
B
|
=
2
⋅
|
M
B
|
=
2
⋅
|
B
F
|
⋅
cos
(
γ
)
=
2
2
|
B
L
|
cos
(
γ
)
=
2
2
⋅
|
B
D
|
⋅
cos
(
γ
)
⋅
cos
(
β
)
=
2
3
⋅
|
B
J
|
⋅
cos
(
γ
)
⋅
cos
(
β
)
=
2
3
⋅
|
B
C
|
⋅
cos
(
γ
)
⋅
cos
(
β
)
⋅
cos
(
α
)
=
2
3
⋅
1
⋅
cos
(
γ
)
⋅
cos
(
β
)
⋅
cos
(
α
)
=
8
⋅
cos
(
80
∘
)
⋅
cos
(
40
∘
)
⋅
cos
(
20
∘
)
{\displaystyle {\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}}
Algebraischer Beweis der allgemeinen Identität
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Es gilt die folgende Formel für Winkelverdoppelung der Sinusfunktion:
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
cos
(
α
)
.
{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).}
Aufgelöst nach
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
cos
(
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}
Entsprechend folgt:
cos
(
2
α
)
=
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
=
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋮
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}
Multipliziert man nun alle rechten und alle linken Seiten miteinander, so erhält man:
cos
(
α
)
cos
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
⋯
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
⋅
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
⋅
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋯
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.}
Bei der rechten Seite handelt es sich um ein Teleskopprodukt , das heißt bis auf den letzten Sinusterm im Zähler und den ersten Sinusterm im Nenner kürzen sich alle Sinusterme weg und man erhält so die zu beweisende Gleichung
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
n
sin
(
α
)
.
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}}.}
Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction . Oxford University Press, 2020, ISBN 9780192545466 , S. 79–83
Ernest C. Anderson: Morrie's Law and Experimental Mathematics . In: Journal of recreational mathematics , 1998
↑ a b c W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger , A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life , Math. Mag. 69, 1996, S. 43–44, (JSTOR )
↑ Samuel G. Moreno, Esther M. García-Caballero: A Geometric Proof of Morrie's Law . In: American Mathemtical Montly , Band 122, Nr. 2 (Februar 2015), S. 168 (JSTOR )
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40baf820bfb46f3ce8606217bb6d1860bd7914eb)
