Modellvollständigkeit

(Weitergeleitet von Modellbegleiter)

In der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, heißt eine Theorie modellvollständig, wenn Untermodelle besonders gut in ihrem Obermodell liegen.

Definition

Bearbeiten

Eine Theorie   heißt modellvollständig, wenn für zwei Modelle   und   von   gilt, dass aus   folgt, dass   elementar in   liegt, in Zeichen  .

Robinsons Test

Bearbeiten

Zum Nachweis der Modellvollständigkeit kann häufig Robinsons Test verwendet werden. Eine Formel   einer Sprache   heißt existenziell, falls sie von der Form

 

mit quantorenfreien   ist. Analog heißt eine Formel universell, wenn sie von der Form

 

mit quantorenfreien   ist. Sind   zwei   Modelle, so heißt   existenziell abgeschlossen in  , wenn jede existenzielle Aussage der Sprache  , die in   gilt, auch in   gilt.

Robinsons Test lautet:

Für eine Aussagenmenge   ist äquivalent:

  1.   ist modellvollständig.
  2. Für zwei Modelle   von   mit   ist   existenziell abgeschlossen in  .
  3. Zu jeder  -Formel   gibt es eine universelle  -Formel  , deren freie Variablen in den freien Variablen von   enthalten sind, so dass sich die Äquivalenz von   und   aus   beweisen lässt.

Vollständigkeit versus Modellvollständigkeit

Bearbeiten

Eine vollständige Theorie muss nicht modellvollständig sein noch muss eine modellvollständige Theorie vollständig sein. Hat aber eine modellvollständige Theorie ein Modell, dass sich in jedes andere Modell der Theorie einbetten lässt, so ist diese Theorie auch vollständig. (s. Primmodell)

Modellbegleiter

Bearbeiten

Eine Theorie   heißt Modellbegleiter einer Theorie  , falls

  •  
  • sich jedes Modell von   zu einem Modell von   erweitern lässt und
  •   modellvollständig ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder Theorie höchstens ein Modellbegleiter existiert.

Beispiele

Bearbeiten
  • Die Theorie der dichten linearen offenen Totalordnung ist vollständig und modellvollständig. Sie ist Modellbegleiter der Theorie der linearen Ordnungen.
  • Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (ohne Aussage über die Charakteristik) ist nicht vollständig, aber modellvollständig.
  • Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper einer festen Charakteristik hat ein Primmodell und ist sowohl vollständig als auch modellvollständig.
  • Die Theorie der dichten linearen Totalordnung mit Extrema ist vollständig, aber nicht modellvollständig. Das Intervall   liegt nicht elementar im Intervall  .

Literatur

Bearbeiten
  • Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome, Model Theory, Amsterdam [u. a.], North-Holland (1998)
  • Prestel: Einführung in die mathematische Logik und Modelltheorie, Braunschweig, Wiesbaden (1986)