Die Föppl-Klammer ist eine von August Föppl eingeführte, vereinfachende Schreibweise vor allem in der Mechanik. Sie wird auch Föppl-Symbol genannt. Gelegentlich wird sie nach dem britischen Mathematiker William Herrick Macaulay auch als Macaulay-Klammer bezeichnet.[1]

Definition

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Die Föppl-Klammer ist keine mathematische Schreibweise, sie wurde von Ingenieuren für den Gebrauch in der Technischen Mechanik übernommen.

 

Dieser Ausdruck bedeutet, dass die Klammer für x-Werte kleiner als   0 ist, und für Werte größer als   den Wert einer normalen Klammer   annimmt. Dabei ist zu beachten, dass die Föppl-Klammer für   nicht definiert ist. Für Betrachtungen in diesem Punkt sind andere Beschreibungsformen (z. B. das Gleichgewicht am differentiellen Element) nötig; jedoch sind derartige Überlegungen in den meisten Fällen nicht erforderlich.

Insbesondere beschreibt:

 

Somit lassen sich Sprünge, z. B. in einem Kraftverlauf, durch Multiplikation der Klammer mit der Kraft (siehe Beispiel) modellieren.

Ableitung und Stammfunktion sind ebenfalls definiert:

 
 

Bei der Differentiation und bei der Integration kann das Klammersymbol wie eine runde Klammer angesehen werden.

Verwendung

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Die Föppl-Klammer erlaubt es die Kraft- und Momentenverläufe an Biegebalken und Balken in kurzer Form darzustellen. Ohne diese Darstellung wären für jede angreifende Kraft und jedes angreifende Moment eine Fallunterscheidung zu treffen.

Die Exponenten einer Föppl-Klammer sind entsprechend dem Kraft- oder Momentenverlauf zu wählen. Beispiele: Die Flächenbelastung q(x) ist konstant: n=0; eine Kraft oder ein Moment greifen an: n=0; die Flächenbelastung q(x) ist linear: n=1; die Flächenbelastung q(x) ist quadratisch: n=2; die Flächenbelastung q(x) ist kubisch: n=3 usw.

Bei der Berechnung der Querkraft Q(x) durch Integration z. B. bei einer linearen Flächenbelastung q(x) mit n=1 ergibt sich für Q(x) der Exponent n=2 und durch weitere Integration für das Biegemoment M(x) der Exponent n=3.

Beispiel

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Ein Balken der Länge l ist in seinen Endpunkten A und D statisch bestimmt gelagert. Er wird im Punkt B durch die Kraft F und im Punkt C durch das Moment M belastet.

 

Es gilt für den Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen:

 

Der Querkraftverlauf (in z-Richtung) folgt der Formel:

  • mit Föppl-Klammer:
 
Erklärung: Der Querkraftverlauf entspricht links von der Stelle f der negativen Auflagerkraft FAz, da die Föppl-Klammer bei x < f als Null definiert ist. Rechts von der Stelle f nimmt der Term den Wert 1 an, was dazu führt, dass die Last F in den Querkraftverlauf durch einen Sprung mit einfließt.
  • ohne Föppl-Klammer:
 

Der Biegemomentverlauf (um die y-Achse) folgt der Formel:

  • mit Föppl-Klammer:
 
  • ohne Föppl-Klammer:
 

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. Wall: Technische Mechanik 1 -- Statik. 12. Auflage. Springer-Verlag, 2013, S. 198ff .