Lokal proendliche Gruppe

Eine lokal proendliche Gruppe ist eine topologische Gruppe, die eine proendliche offene Untergruppe hat. Für lokal proendliche Gruppen können glatte Darstellungen definiert werden.

Beispiele

• Jede proendliche Gruppe ist lokal proendlich.
• Ist $K$ ein $p$-adischer lokaler Körper, so ist die Weil-Gruppe $W_{K}$ lokal proendlich. Eine proendliche offene Untergruppe ist durch die Trägheitsgruppe $I_{K}$ gegeben.
• Die Gruppe $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} _{p})$ ist lokal proendlich. Eine proendliche offene Untergruppe ist durch $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p})$ gegeben.
• Ist allgemein $G$ eine lineare algebraische Gruppe über einem $p$-adischen lokalen Körper $F$, so ist $G(F)$ lokal proendlich. Für geeignetes $n$ kann $G$ als abgeschlossene Untergruppe von $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} _{p})$ aufgefasst werden.

Referenzen

• Bushnell-Henniart: The local Langlands conjecture for GL(2) (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Band 335). Springer-Verlag, Berlin, New York 2006, ISBN 978-3-540-31486-8, doi:10.1007/3-540-31511-X.