Konstantenexpansion

Die Konstantenerweiterung oder Konstantenexpansion ist ein wichtiges Verfahren in der mathematischen Logik. Dabei wird eine Sprache um neue Konstanten erweitert (expandiert), um in der Erweiterung gewisse gewünschte Eigenschaften zu erhalten. Anschließend wird das in der expandierten Sprache Erzielte wieder auf die Ausgangssprache reduziert.[1]

DefinitionBearbeiten

Die Signatur   einer Sprache, zum Beispiel der Prädikatenlogik erster oder zweiter Stufe, enthält unter anderem eine möglicherweise leere Menge   von Konstantensymbolen. Die Expansion zu einer größeren Menge  , wobei   und   disjunkt seien, erweitert die Ausgangssprache um neue Konstantensymbole aus  .

Ist   die Ausgangssprache, oft auch mit   bezeichnet, wenn die Signatur   angegeben werden soll, so wird die Konstantenexpansion um   mit   bzw.   bezeichnet.

AnwendungenBearbeiten

VollständigkeitssatzBearbeiten

Henkins Beweis des gödelschen Vollständigkeitssatzes konstruiert zu jeder konsistenten Aussagenmenge in einer Sprache   der Prädikatenlogik erster Stufe eine Modell. Ein wesentlicher Schritt ist die Hinzunahme einer neuen Konstanten   für jede Aussage der Form  . Jede dieser neuen Konstanten  , deren Gesamtheit mit   bezeichnet sei, fungiert als Beispiel für ein Element, das die Existenzaussage   erfüllt, genauer erhält man durch Hinzunahme der Aussagen   zur gegebenen konsistenten Aussagenmenge wieder eine konsistente Aussagenmenge, von der man die Existenz eines Modells in der Sprache   zeigen kann. Dieses Modell ist dann auch in der Sprache   ein Modell für die anfangs gegebene konsistente Aussagenmenge, denn diese enthält die neuen Konstanten aus   ja nicht. Das ist Henkins Beweis des Vollständigkeitssatzes.[2]

Existenz großer ModelleBearbeiten

Es sei   eine Aussagenmenge einer Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe. Wenn es zu jeder natürlichen Zahl ein Modell von   gibt, dessen Mächtigkeit größer als diese natürliche Zahl ist, so gibt es Modelle beliebig großer Mächtigkeit. Diese auch als Aufwärtsversion des Satzes von Löwenheim-Skolem bezeichnete Aussage lässt sich wie folgt sehr leicht mittels Konstantenexpansion beweisen. Zu vorgegebener Kardinalzahl   wähle Konstanten  . Die gegebene Aussagemenge bleibt konsistent, wenn man die Aussagen   für je zwei   hinzunimmt, denn jede endliche Teilmenge der so erweiterten Aussagenmenge enthält nur endlich viele der Ungleichungen  ; dazu gibt es nach Voraussetzung Modelle und der Kompaktheitssatz liefert dann ein Modell für   in der Sprache  . Jedes solche Modell ist auch ein Modell in der Sprache   und hat wegen der Mächtigkeit der hinzugenommenen Konstantenmenge mindestens die Mächtigkeit  , womit die Aussage bewiesen ist.[3]

IndividuenkonstantenBearbeiten

Ist   ein Modell zu einer Sprache   mit Trägermenge  , so kann es nützlich sein, für jedes Individuum   eine Konstante   zu haben. Die durch Hinzunahme sämtlicher Konstanten   resultierende Konstantenexpansion wird mit   bezeichnet. Die im Modell   geltenden Formeln der Sprache   sind dann genau die  -Aussagen im Modell  , wenn jede Individuenkonstante   durch   interpretiert wird. Diese Sichtweise kommt bei der Diagrammmethode zum Tragen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. Ein Lehrbuch. 3. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, Abschnitt 3.2.
  2. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. 4. Aufl. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998, ISBN 3-8274-0130-5, Kapitel V: Der Vollständigkeitssatz.
  3. Chen Chung Chang, Howard Jerome Keisler: Model Theory (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Band 73). Elsevier Science Amsterdam 1990, ISBN 0-444-88054-2, Korollar 2.1.6.