H-Theorem

mathematischer Satz

Das Boltzmannsche H-Theorem erlaubt es, in der kinetischen Gastheorie die Maxwell-Boltzmann-Verteilung zu finden und die Entropie zu definieren. Es handelt sich damit um eine zentrale Aussage in der kinetischen Gastheorie. Das H-Theorem kann dazu herangezogen werden um den Vorgang der Equilibrierung eines Systems zu beschreiben, welcher insbesondere im Nichtgleichgewicht abläuft[1].

Das H-Theorem wird auch Eta-Theorem genannt, weil mit dem Symbol H statt des lateinischen Buchstabens H, der nicht für die Enthalpie steht, auch der oft gleich aussehende, griechische Buchstabe Eta gemeint sein könnte. Wie das Symbol zu verstehen ist, wird seit langem diskutiert und bleibt mangels schriftlicher Belege aus der Entstehungszeit des Theorems ungeklärt.[2][3] Einige Hinweise sprechen aber für die Interpretation als Eta.[4]

AussageBearbeiten

Der Inhalt des H-Theorems besteht in einer Aussage über die Größe  ,

 ,

wobei   die Boltzmann-Verteilungsfunktion ist, die die Teilchenzahl in einem Volumenelement des Phasenraums   bei   angibt. Dabei werden als Konsequenz des thermodynamischen Limes Effekte an der Oberfläche des betrachteten Volumens vernachlässigt sowie Freiheit von äußeren Kräften angenommen und damit eine  -Unabhängigkeit von   begründet.

Der Ansatz für   kann je nach Problemstellung variiert werden; für ein Gemisch aus zwei Gasen   und   ist etwa der Ansatz

 

sinnvoll, wo   und   das oben definierte   mit den Verteilungsfunktionen für   und   ist.

Mit Hilfe der Boltzmann-Gleichung und der Annahme verschwindender äußerer Kräfte berechnet sich die zeitliche Ableitung von   als

 .

mit

  •  
  •   und   bezeichnen die Geschwindigkeiten zweier Stoßteilchen vor dem Stoß,
die gestrichenen Varianten ihre Geschwindigkeiten nach dem Stoß

Aus der Form von   sehen wir die Aussage des H-Theorems:

 ,

woraus folgt, dass   eine monotone Funktion ist.

FolgerungenBearbeiten

GleichgewichtsverteilungBearbeiten

Im Gleichgewichtsfall muss offensichtlich   gelten. Aus der Form von   erkennt man, dass   dann eine Erhaltungsgröße in den auftretenden Stößen sein muss. Nimmt man an, dass es sich dabei um eine Linearkombination der folgenden bekannten Erhaltungsgrößen des Stoßes handelt:

  • Masse   der Stoßteilchen
  • Gesamtimpuls   und
  • Gesamtenergie  ,

so erhält man daraus die Maxwell-Boltzmann-Verteilung

 

mit den Konstanten  ,   und  .

EntropieBearbeiten

Aus dem H-Theorem folgt, dass H eine monoton wachsende Größe ist, wie dies für eine Entropie vonnöten ist. Definiert man

 

mit

  •   die Boltzmannkonstante
  •   die Größe   für die Gleichgewichtsverteilung und
  •   das Volumen des Gases,

so erhält man eine extensive Zustandsgröße, die mit der Zeit monoton wächst: eine Entropie.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Es existieren Verallgemeinerungen für das H-Theorem, unter anderem das Relaxationstheorem[5].

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. James C. Reid, Denis J. Evans, Debra J. Searles: Communication: Beyond Boltzmann's H-theorem: Demonstration of the relaxation theorem for a non-monotonic approach to equilibrium. In: The Journal of Chemical Physics. Band 136, Nr. 2, 11. Januar 2012, ISSN 0021-9606, S. 021101, doi:10.1063/1.3675847 (scitation.org [abgerufen am 25. Juni 2019]).
  2. S. Chapman: Boltzmann’s H-Theorem. In: nature, 139 (1937), S. 931, doi:10.1038/139931a0.
  3. S. G. Brush: Boltzmann’s “Eta Theorem”: Where’s the Evidence? In: American Journal of Physics, 35 (1967), S. 892, doi:10.1119/1.1974281.
  4. S. Hjalmars: Evidence for Boltzmann’s H as a capital eta. In: American Journal of Physics, 45 (1977), S. 214–215, doi:10.1119/1.10664.
  5. James C. Reid, Denis J. Evans, Debra J. Searles: Communication: Beyond Boltzmann's H-theorem: Demonstration of the relaxation theorem for a non-monotonic approach to equilibrium. In: The Journal of Chemical Physics. Band 136, Nr. 2, 11. Januar 2012, ISSN 0021-9606, S. 021101, doi:10.1063/1.3675847 (scitation.org [abgerufen am 25. Juni 2019]).