Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde 1834 von Émile Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius aus den Theorien der Thermodynamik abgeleitet. Sie ist eine Spezialform der Clapeyron-Gleichung (Herleitung dort). Über die Clausius-Clapeyron-Gleichung lässt sich der Verlauf der Siedepunktskurve errechnen, d. h. der Phasengrenzlinie eines Phasendiagramms zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase eines Stoffes.

Thermodynamisch korrekte Gleichung

Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}={\frac {\Delta _{\text{vap}}H}{\Delta _{\text{vap}}V\cdot T}}$

mit

• $p$ – Dampfdruck,
• $T$ – absolute Temperatur (in K),
• $\Delta _{\text{vap}}H$ – molare Verdampfungsenthalpie (Index ${\text{vap}}$ für Verdampfung bzw. englisch vapor = Dampf) und
• $\Delta _{\text{vap}}V=V_{\text{m(g)}}-V_{\text{m(fl)}}$ – Änderung des molaren Volumens zwischen gasförmiger und flüssiger Phase.

Approximation im Falle eines idealen Gases

Im Regelfall bezeichnet man als Clausius-Clapeyron-Gleichung die näherungsweise gültige Gleichung

${\frac {1}{p}}\,{\text{d}}p={\frac {\Delta _{\text{vap}}H}{R\cdot T^{2}}}\,{\text{d}}T$

mit

• $R=8{,}314\,462\;\mathrm {J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ – universelle Gaskonstante.

Herleitung:
Da bei den meisten Verwendungszwecken das molare Volumen des Gases deutlich größer ist als das der Flüssigkeit:

$V_{\text{m(g)}}\gg V_{\text{m(fl)}}$,

wurde gegenüber der thermodynamisch korrekten Gleichung die Volumendifferenz $\Delta _{\text{vap}}V$ durch das molare Volumen $V_{\text{m(g)}}$ des Gases ausgedrückt:

$\Delta _{\text{vap}}V\approx V_{\text{m(g)}}$.

Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein ideales Gas angenommen, für das folgende Zustandsgleichung gilt:

$V_{\text{m(g)}}={\frac {RT}{p}}$.

Integrierte Form

Betrachtet man die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant über einen kleinen Temperaturbereich ($T_{1}$ bis $T_{2}$), so kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung über diesen Temperaturbereich integriert werden. Dann gilt

$\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}={\frac {\Delta _{\text{vap}}H}{R}}\cdot \left({\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}\right)$

mit

• dem bekannten Sättigungsdampfdruck $p_{1}$ und der Temperatur $T_{1}$ des Ausgangszustands,
• dem Druck $p_{2}$ und der Temperatur $T_{2}$ des zu berechnenden Zustands.

Praktische Bedeutung

Pro Grad Erwärmung kann z. B. Luft – bzw. die Erdatmosphäre – 7 % mehr Feuchtigkeit in Form gasförmig gelösten Wassers („Wasserdampf“) aufnehmen – womit als Folge der menschengemachten globalen Erwärmung die Zunahme von Extremwetter-Ereignissen mit erklärt wird, z. B. beim Weihnachtshochwasser 2023 in Norddeutschland oder bei den Überschwemmungen in Europa im Mai 2023. Mit dem 2015 von der Weltgemeinschaft auf der UN-Klimakonferenz getroffenen Übereinkommen von Paris wurde die Begrenzung der globalen Erwärmung auf möglichst 1,5 °C beschlossen: Mit dem seit Beginn der Messungen in Deutschland 1881 wärmsten Jahr 2023 wies das Land 2,4 °C Erwärmung auf – mit über 20 % mehr Niederschlag als im Durchschnitt wurde es dort auch sechstnassestes Jahr seit Aufzeichnungsbeginn 1961. Weltweit lag die Erwärmung der Erdatmosphäre 2023 gegenüber der Referenzperiode bei über 1,4 bis fast 1,5 °; auch bei der Temperatur der Meeresoberflächen weltweit wurden 2023 unerwartete Rekordwerte gemessen.

Weblinks

• Video: Dampfdruck von reinen Stoffen nach Clausius-Clapeyron – Wie wohl fühlt sich eine Komponente in einer Phase?. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/15670.
• spektrum.de Lexikon der Physik, 1998: Clausius-Clapeyron-Gleichung

Literatur

• M. K. Yau, R. R. Rogers: Short Course in Cloud Physics, Third Edition, Butterworth-Heinemann, Januar 1989, 304 Seiten. ISBN 0-7506-3215-1
• Gerd Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie: Fünfte, vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, August 2004, 1102 Seiten. ISBN 3-527-31066-5