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GARCH-Modelle (GARCH, Akronym für: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, deutsch verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität) bzw. verallgemeinerte autoregressive Modelle mit bedingter Heteroskedastizität oder auch verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, die eine Verallgemeinerung der ARCH-Modelle (autoregressive conditional heteroscedasticity) sind. Sie werden beispielsweise in der Ökonometrie bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des Volatilitätsclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 von Tim Bollerslev auf der Grundlage des ARCH-Modells von Robert F. Engle (1982) entwickelt.

DefinitionBearbeiten

Eine Zeitreihe   heißt GARCH(p,q)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch[1]

 

wobei   reelle, nichtnegative Parameter mit   und   sind, und der Prozess   aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit   und   besteht.

Bei einem GARCH-Modell hängt also die bedingte Varianz   von   von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.

ErweiterungenBearbeiten

T-GARCHBearbeiten

T-GARCH-Modelle sind keine echten GARCH-Modelle, sondern verallgemeinern diese wie folgt:
Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p, z. B. p=0.999, entsprechen sie dem "normalen" GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1-p einem vorher festgelegten Wert. Mit diesen nicht-linearen Modellen können dann zum Beispiel Börsencrashs oder Ähnliches simuliert werden.[2]

COGARCHBearbeiten

Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller stellten 2004 eine zeitstetige Erweiterung des zeitdiskreten GARCH(1,1)-Prozesses vor. Man beginnt dafür mit den GARCH(1,1)-Gleichungen

 
 

und ersetzt die unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen   formal durch die infinitesimalen Inkremente   eines Lévy-Prozesses   sowie deren Quadrate   durch die Inkremente  , wobei

 

der rein unstetige Teil des quadratischen Variationsprozesses von   ist. Man erhält also das System

 
 

von stochastischen Differentialgleichungen, wobei sich die positiven Parameter  ,   und   aus  ,   und   bestimmen lassen. Hat man nun eine Anfangsbedingung   gegeben, so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Lösung  , die dann als COGARCH-Modell (continuous-time GARCH) bezeichnet wird.[3]

LiteraturBearbeiten

  • T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics, Vol.: 31 No.: 3, pp. 307–327, 1986, doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1.
  • Franke, J., Härdle, W., Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2008), ISBN 3-540-762698

ReferenzenBearbeiten

  1. Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.
  2. Dissertation zu T-GARCH
  3. C. Klüppelberg, A. Lindner, R. Maller: A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: stationarity and second-order behaviour. In: Journal of Applied Probability. 41, Nr. 3, 2004, S. 601–622. doi:10.1239/jap/1091543413.