Die Freifallzeit bezeichnet in der Astronomie die Zeit, die eine ausgedehnte Gaswolke oder ein Stern unter der Wirkung ihrer eigenen Gravitation zum Kollaps auf einen Punkt benötigt, wenn alle Kräfte außer der Gravitation außer Acht gelassen werden. Das Modell ist aufgrund seiner Annahmen mehr dazu geeignet, die Formierung eines Sterns aus einer Gaswolke zu beschreiben (siehe Sternentstehung) als die Formierung eines Schwarzen Lochs aus einem Stern (siehe Gravitationskollaps).

Insbesondere wird in dem Modell vernachlässigt,

Unter Vernachlässigung dieser Aspekte ergibt sich für die Freifallzeit nach einer klassischen Berechnung für eine kugelförmige, homogene Gaswolke ohne innere Energie:

Dabei sind

  • die Gravitationskonstante,
  • der Radius des Sterns,
  • seine Masse und
  • seine konstante Dichte.

Herleitung

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Für jede infinitesimal dünne Massenschale der Gaswolke im Abstand   vom Zentrum gilt in Verbindung mit dem Newtonschen Schalentheorem das Newtonsche Gravitationsgesetz:

 

Dabei ist   die innerhalb dieser Schale befindliche Masse. Diese bleibt während des Kollapses konstant und daher gleich ihrem Anfangswert   beim Radius  :

 

Multiplikation mit   und anschließende Integration mit dem Anfangswert   liefert

 
 

(denn zu einem positiven   gehört bei einem Kollaps natürlich ein negatives  ). Separation der Variablen ergibt nun

 

und die zweite Integration liefert (wie sich durch Ableiten leicht verifizieren lässt):

 

Der Klammerterm auf der rechten Seite strebt für   gegen   sodass sich für die Freifallzeit der Massenschale

 

ergibt. Einsetzen von   zeigt, dass   unabhängig von der Startposition   ist, sodass alle Teilchen zugleich im Zentrum ankommen:

 

Man darf also für   auch den Sternradius   setzen, womit dann   zur Sternmasse   wird:

 

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass eine Gaswolke nicht vollständig auf einen Punkt kollabiert, bevor die stellare Kernfusion zündet, kann man (statt bis ins Zentrum   zu integrieren) bei einem endlichen Radius   Halt machen. Obiges   bleibt trotzdem näherungsweise gültig, sofern   gilt.

Literatur

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  • Rudolf Kippenhahn, Alfred Weigert: Stellar Structure and Evolution. 1. Auflage. Springer, 1990, ISBN 978-3-642-61523-8, S. 256 f. (englisch).