Die Fermat-Catalan-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie.

Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Formulierung Ideen der Fermat-Vermutung und Catalanschen Vermutung umfasst. Die Vermutung besagt, dass es nur endlich viele Lösungen gibt mit

,

wobei koprim zueinander sind und

.

Letztere Bedingung schließt die pythagoräischen Tripel ( mit unendlich vielen Lösungen) aus und einige weitere Fälle mit unendlich vielen Lösungen. Die Ungleichung wird genau erfüllt von und Permutationen, jeweils mit unendlich vielen Lösungen,[1] und von (mit Permutationen), mit jeweils endlich vielen Lösungen.

Der Fall der inzwischen bewiesenen Catalan-Vermutung ist der, bei dem eines der gleich ist. Die einzige Lösung ist nach der Vermutung

.

Streng genommen liefern unendlich viele eine Lösung, doch wird dies ebenfalls als trivialer Sonderfall ausgeschlossen.

Nichttriviale Lösungen der Fermat-Catalan-Gleichung

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Bekannt sind die nach dem Stand von 2015 die folgenden Lösungen:[2]

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Die letzten und größten fünf Lösungen der Liste stammen von Frits Beukers und Don Zagier.[3]

Gesicherte Resultate

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Nach einem auf dem Satz von Faltings beruhenden Satz von Henri Darmon und Andrew Granville[4] gibt es zu festen   nur endlich viele Lösungen. Die Fermat-Catalan-Vermutung behauptet die Endlichkeit aber auch für unendlich viele mögliche Exponenten.

Die Fermat-Catalan-Vermutung folgt aus der abc-Vermutung.[1]

Nach der Vermutung von Andrew Beal muss einer der Exponenten in der Fermat-Catalan-Vermutung   sein.

Spezielle Werte der Exponenten

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Die Endlichkeit der Lösungen wurde für spezielle Kombinationen von Exponenten   der Vermutung untersucht, darunter:

  • (2, 3, 7) von Bjorn Poonen u. a. (2005)[5]
  • Die von Andrew Wiles bewiesene Fermatvermutung behandelt den Fall (k, k, k) mit keiner Lösung für  
  • Henri Darmon und Loïc Merel behandelten den Fall (k,k,2) und (k, k, 3) und zeigten, dass es keine Lösungen für (k, k, 3),   gibt und für (k, k, 2) für  .[6]
  • (2n, 2n, 5) von Michael Bennett
  • (2,4,n) von Jordan S. Ellenberg, Ellenberg/Bennett/Ng und Bruin[7] und (2, n, 4) von Bennett und Bennett/Skinner
  • (2,6,n) von Bennett/Chen und Bruin
  • (2, n, 6), (3,3,2n), (3,6,n), (2, 2n, k) für k= 9, 10 oder 15, (4, 2n, 3) von Bennett, I. Chen, S. Dahmen, S. Yazdani
  • (2,4,7) von Ghioca
  • (2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5) von Bruin (2004)[8]
  • (5,5,7), (7,7,5) von Dahmen/Siksek
  • (3,4,5) Siksek/Stoll

Henri Darmon (2012) verfolgt ein Programm der Verallgemeinerung der Frey-Kurve des Fermatproblems (zu Frey-Abel-Varietäten), um die verallgemeinerten Fermat-Gleichungen   zu untersuchen (mit  ).

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Einzelnachweise

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  1. a b Beukers: The ABC conjecture. (PDF; 514 kB) Vortragsfolien 2005
  2. Die zehn Fälle wurden schon 1995 aufgezählt von Darmon, Granville. In: Bulletin of the London Mathematical Society, Band 27, 1995, S. 513–543. Sie finden sich auch in dem Vortrag von Beukers zur ABC-Vermutung 2005.
  3. R. Daniel Mauldin: A generalization of Fermat’s problem: The Beal conjecture and prize problem. In: Notices AMS, Dezember 1997, Nr. 11, S. 1437, ams.org (PDF; 124 kB)
  4. Darmon, Granville: On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr. In: Bulletin of the London Mathematical Society, Band 27, 1995, S. 513–543
  5. Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll: Twists of X (7) and primitive solutions of  . arxiv:math/0508174
  6. Darmon, Merel: Winding Quotients and Some Variants of Fermat’s Last Theorem. In: J. reine angew. Math. Band 490, 1997, S. 81–100, SUB Göttingen
  7. Michael Bennett, mit Chen, Dahmen, Yazdani: The Generalized Fermat equation: a progress report. (PDF; 442 kB) Hawaii-Manoa 2012, Vortragsfolien
  8. N. Bruin: Visualising Sha[2] in Abelian Surfaces. In: Math. Comput. Band 73, 2004, S. 1459–1476