Als Eikonal (Altgriechisch εἰκών eikon = Bild, Abbild) wird in der geometrischen Optik die Strecke eines Lichtstrahls zwischen Ausgangs- und Endpunkt bezeichnet; mittlerweile bezeichnet der Begriff meist das Bruns-Eikonal.

Bruns-Eikonal

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Das Bruns-Eikonal oder Brunssche Eikonal ist eine Funktion, die gemäß dem Fermatschen Prinzip den kürzesten Weg zwischen zwei durch optische Medien getrennten Punkten beschreibt. Sie wurde vom deutschen Mathematiker Heinrich Bruns 1895 veröffentlicht und in der Strahlenoptik benutzt. Der Name Eikonal stammt von Bruns, das Verfahren war aber schon William Rowan Hamilton bekannt, der es charakteristische Funktion nannte (Hamilton-Jacobi-Gleichung) und in Optik und Mechanik anwandte.

Das Bruns-Eikonal wird bei akustischen Wellen und anderen Wellenphänomenen angewendet, z. B. in der Seismologie zur Berechnung der Ausbreitung seismischer Wellen.

Herleitung

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Nachfolgend soll die Eikonalgleichung als Hochfrequenzapproximation der akustischen Wellengleichung hergeleitet werden. In der Quantenmechanik wird ein ähnliches Verfahren verwendet, die semiklassische WKB-Näherung.

Wir gehen also von der akustischen Wellengleichung mit dem Druck  , dem Ortsvektor  , der ortsabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit   und konstanter Dichte aus

 

Gesucht ist ein zeitlich harmonischer Hochfrequenzansatz, für den eine frequenz- und zeitunabhängige Amplitude   und die Laufzeitfunktion   angenommen werden kann. Sie hat die Form

 

Zunächst berechnet man die Zeitableitungen der Wellengleichung:

 

Nun folgen die Ortsableitungen:

 

Wegen der vektoriellen Identität   gilt weiter:

 
 
 
 

Die beiden Ableitungen in die Wellengleichung eingesetzt ergeben nach Division durch  

 

Eine Division durch   führt dann zu

 

Da Real- und Imaginärteil der Gleichung unabhängig voneinander gleich null sein müssen, folgt:

 

Bei der Näherung geht man davon aus, dass die Amplitude   nur schwach ortsabhängig,   also beschränkt ist. Da gleichzeitig weder die Laufzeit   noch die Amplitude   frequenzabhängig sind, ist der zweite Term für sehr hohe Frequenzen klein gegenüber dem ersten Term und die Gleichung vereinfacht sich auf:

 

Die Lösung   der Eikonalgleichung ordnet jedem Punkt im Ortsraum die Laufzeit der Welle zu. Linien gleicher Laufzeit lassen sich entsprechend als Wellenfronten interpretieren.