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Effektstärke (auch Effektgröße) bezeichnet die Größe eines statistischen Effekts. Sie kann zur Verdeutlichung der praktischen Relevanz von statistisch signifikanten Ergebnissen herangezogen werden. Zur Messung der Effektstärke werden unterschiedliche Effektmaße verwendet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es sind unterschiedliche Maße der Effektstärke in Gebrauch. Nach Cohen[1] sollte für eine Maßzahl der Effektstärke gelten:

  1. sie ist eine dimensionslose Zahl,
  2. sie hängt nicht von der Maßeinheit der Ursprungsdaten ab,
  3. sie ist, im Gegensatz zu Teststatistiken, unabhängig von der Stichprobengröße und
  4. ihr Wert sollte nahe bei Null liegen, wenn die Nullhypothese des zugehörigen Tests nicht abgelehnt wurde.

BeispielBearbeiten

Verglichen wird die Intelligenzleistung von Kindern, die nach einer neuen Methode unterrichtet wurden, mit Kindern, die nach der herkömmlichen Methode unterrichtet wurden. Wenn eine sehr große Anzahl von Kindern pro Stichprobe erfasst wurde, können schon Unterschiede von beispielsweise 0,1 IQ-Punkten zwischen den Gruppen signifikant werden. Ganz offensichtlich bedeuten 0,1 IQ-Punkte Unterschied aber trotz eines signifikanten Testergebnisses kaum eine Verbesserung.

Wenn nur das signifikante Ergebnis bewertet würde, könnte die Schlussfolgerung sein, dass die neue Methode eine bessere Intelligenzleistung bewirkt, und die alte Lehrmethode würde unter hohem Kostenaufwand abgeschafft werden. Werden hingegen andere Effekte miteinbezogen, würde sicherlich weiterhin nach der ursprünglichen Methode unterrichtet werden.

Verwendung in der ForschungBearbeiten

Effektstärke bezeichnet bei Experimenten (insbesondere in der Medizin, den Sozialwissenschaften und der Psychologie) das Ausmaß der Wirkung eines experimentellen Faktors. Bei Regressionsmodellen dient sie als Indikator für den Einfluss einer Variablen auf die erklärte Variable. Effektgrößen werden bei Metaanalysen berechnet, um die Ergebnisse von verschiedenen Studien in einem einheitlichen Maß – der Effektgröße – miteinander vergleichen zu können.

Die Effektgröße kann einerseits nach einer Untersuchung berechnet werden, um Unterschiede zwischen Gruppen in einem standardisierten Maß vergleichen zu können. Allerdings kann es auch sinnvoll sein, eine Effektgröße auch als Mindesteffektgröße vor der Durchführung einer Untersuchung oder vor der Durchführung eines Tests aufzustellen. Wird ein statistischer Test durchgeführt, so kann praktisch immer die Nullhypothese zurückgewiesen werden, wenn nur eine genügend große Anzahl von Messergebnissen einbezogen sind. Der Test wird bei genügend großem Stichprobenumfang also praktisch immer signifikant.

Effektstärke und statistische SignifikanzBearbeiten

In der praktischen Anwendung statistischer Tests wird ein kleiner p-Wert häufig mit einer vergleichsweise hohen Effektstärke assoziiert. Zwar ist es tatsächlich der Fall, dass unter Beibehaltung der anderen Parameter einer Testsituation (Stichprobengröße, gewähltes Signifikanzniveau, erforderliche Teststärke) ein kleinerer p-Wert mit einer größeren Effektstärke assoziiert ist. Dies ist aber einfach ein spezifisches Merkmal des statistischen Tests (bzw. der zugrundeliegenden Verteilungen) und lässt eine Interpretation der Irrtumswahrscheinlichkeit p als Effektstärke nicht zu. Es ist aber – z. B. bei der Durchführung einer Meta-Analyse – möglich, aus einer berichteten Irrtumswahrscheinlichkeit eine zugeordnete Effektstärke zu bestimmen, wenn die Stichprobengröße bekannt ist. Da ein statistischer Test im Wesentlichen daraus besteht, eine spezielle (sinnvollerweise nicht-zentrale) Stichprobenverteilung für die verwendete Teststatistik (z. B. t – im Falle eines t-Tests – oder F für eine ANOVA) darauf zu überprüfen, ob der empirisch gefundene Wert der Statistik unter der Annahme, eine spezielle zu überprüfende Nullhypothese sei korrekt, plausibel (oder unplausibel) ist, lässt sich aus der gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit und der Information über die Stichprobengröße der erforderliche Parameter (Nichtzentralitätsparameter) der gewählten Verteilung und daraus die dem Test zugrundeliegende Effektstärke ermitteln. In ähnlicher Weise kann ein berichtetes eingehaltenes Signifikanzniveau dazu verwendet werden, eine Abschätzung zu geben, wie groß die Effektstärke mindestens gewesen sein muss, damit für eine gegebene Stichprobengröße das berichtete Signifikanzniveau eingehalten werden konnte.

In der Fisherschen Testtheorie kann der p-Wert eine Effektgröße darstellen, da ein kleiner p-Wert als hohe Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen der Forschungshypothese interpretiert wird. Bedingt durch die Standardisierung der Teststatistiken kann jedoch durch Vergrößern der Stichprobe jeder Effekt signifikant „gemacht“ werden. Unter Neyman-Pearson ist allerdings der Tatsache Rechnung zu tragen, dass ein Annehmen der Forschungshypothese immer mit einem Ablehnen der Nullhypothese einhergeht. Ein Ergebnis, das unter der Nullhypothese hochsignifikant wird, kann unter der Forschungshypothese noch viel unwahrscheinlicher sein, da sich die Teststärke extrem reduziert. Als Effektgröße ist der p-Wert somit nicht geeignet, da der Effekt in der Forschungshypothese zu klein sein kann, um von praktischer Bedeutung zu sein.

Maßzahlen für die EffektstärkeBearbeiten

Bravais-Pearson-Korrelation rBearbeiten

Die Bravais-Pearson-Korrelation   ist eine der meistgenutzten und ältesten Maßzahlen für Effektstärken bei Regressionsmodellen. Sie erfüllt in natürlicher Weise die Anforderungen, die Cohen an eine Effektstärke stellte.

Nach Cohen[1] indiziert   einen kleinen Effekt,   einen mittleren und   einen starken Effekt.

Alternativ kann das Bestimmtheitsmaß   benutzt werden.

Cohens dBearbeiten

Cohens d[1] ist die Effektgröße für Mittelwertunterschiede zwischen zwei Gruppen mit gleichen Gruppengrößen   sowie gleichen Gruppenvarianzen   und hilft bei der Beurteilung der praktischen Relevanz eines signifikanten Mittelwertunterschieds (siehe auch t-Test):

 

Als Schätzer für gleiche Gruppengrößen und unterschiedliche Varianzen wurde von Cohen

 

angegeben, wobei   den jeweiligen Mittelwert aus den beiden Stichproben und   die geschätzten Varianzen aus den beiden Stichproben nach der Gleichung   bezeichnen.

Nach Cohen[1] bedeutet ein   zwischen 0,2 und 0,5 einen kleinen Effekt, zwischen 0,5 und 0,8 einen mittleren und ein   größer als 0,8 einen starken Effekt.[2]

Ungleiche Gruppengrößen und GruppenvarianzenBearbeiten

Andere Autoren als Cohen schätzen die Standardabweichung   mit Hilfe der gepoolten Varianz[3] als

 

mit

 

Umrechnung in rBearbeiten

Wird die Zugehörigkeit zu der einen Stichprobe mit Null und zu der anderen mit Eins kodiert, so kann ein Korrelationskoeffizient   berechnet werden. Er ergibt sich aus Cohens   als

 .

Im Gegensatz zu Cohens   ist der Korrelationskoeffizient   nach oben durch Eins beschränkt. Von einem schwachen Effekt spricht man hier ab einem r=0,10, einem mittleren Effekt ab einem r=0,30 und einem starken Effekt ab r=0,50.

Glass’ ΔBearbeiten

Glass (1976) schlug vor, nur die Standardabweichung der zweiten Gruppe zu benutzen

 

Die zweite Gruppe wird hier als Kontrollgruppe betrachtet. Wenn Vergleiche mit mehreren Experimentalgruppen durchgeführt werden, dann ist es besser   aus der Kontrollgruppe zu schätzen, damit die Effektstärke nicht von den geschätzten Varianzen der Experimentalgruppen abhängt.

Unter der Annahme von gleichen Varianzen in beiden Gruppen ist jedoch die gepoolte Varianz der bessere Schätzer.

Hedges gBearbeiten

Larry Hedges schlug 1981 eine weitere Modifikation vor.[4] Es handelt sich dabei um dengleichen Ansatz wie bei Cohen's d, mit einer Korrektur der gepoolten Standardabweichung. Leider ist die Terminologie oft ungenau. Ursprünglich wurde diese korrigierte Effektstärke auch d genannt.[5] Hedges g wird auch Cohens   genannt.[6] Cohens d und Hedges g sind weitgehend vergleichbar, allerdings gilt Hedges Modifikation als fehleranfälliger.[7] Insbesondere liefert Hedges g für kleine Stichproben keine erwartungstreuen Schätzer, kann aber korrigiert werden.[8] Hedges g kann nützlich sein, wenn die Stichprobengrößen unterschiedlich sind.[9]

Hedges g wird wie folgt berechnet:

 

und

 

ergibt einen verzerrten Schätzer der Effektstärke. Einen unverzerrten Schätzer g* erhält man durch folgende Korrektur:[10]

 

und

 

ergibt einen unverzerrten Schätzer, der zur Berechnung der Konfidenzintervalle der Effekt-Stärken von Stichprobenunterschieden besser geeignet ist als Cohens d, welcher die Effekt-Stärke in der Grundgesamtheit schätzt.   bezeichnet hierbei die Gamma-Funktion.

Cohens f2Bearbeiten

Cohens   ist ein Maß für die Effektstärke im Rahmen der ANOVA beziehungsweise des F-Tests und der Regressionsanalyse.

RegressionsanalyseBearbeiten

Die Effektstärke   berechnet sich

 

mit den Bestimmtheitsmaßen   mit allen Variablen des Regressionsmodells und   ohne die zu testende Variable. Ist nur der gemeinsame Effekt aller Variablen von Interesse, reduziert sich die obige Formel zu

 

Nach Cohen[1] indiziert   einen kleinen Effekt,   einen mittleren und   einen starken Effekt.

F-Test bzw. ANOVABearbeiten

Die Effektstärke   berechnet sich für   Gruppen als

 

mit   ein Schätzer für die Varianz innerhalb von Gruppen. Nach Cohen[1] indiziert   einen kleinen Effekt,   einen mittleren und   einen starken Effekt.

Partielles Eta-QuadratBearbeiten

Die Effektstärke kann auch über das partielle Eta-Quadrat angegeben werden. Die Berechnung ergibt sich folgendermaßen:

 

mit   als Quadratsumme des jeweiligen zu bestimmenden Effektes und   als Quadratsumme der Residualvarianz.[11] Multipliziert man das partielle Eta-Quadrat mit 100 kann es zur Interpretation der Varianzaufklärung eingesetzt werden. Das Maß gibt dann an, wieviel Varianz der abhängigen Variablen prozentual durch die unabhängige Variable erklärt wird. Das Programm SPSS von IBM berechnet bei Varianzanalysen standardmäßig partielles Eta-Quadrat. In älteren Programmversionen wurde dies fälschlicherweise als Eta-Quadrat bezeichnet. Bei einer einfaktoriellen ANOVA besteht zwischen Eta-Quadrat und partiellem Eta-Quadrat kein Unterschied. Sobald eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet wird, muss das partielle Eta-Quadrat berechnet werden.

Eta-Quadrat als Effektstärkemaß überschätzt aber den Anteil der erklärten Varianz. Rasch u. a. und Bortz empfehlen stattdessen die Verwendung des Populationseffektschätzers  , welcher durch Cohens   folgendermaßen berechnet wird:[11][12]

 

Cramers Phi, Cramers V und Cohens wBearbeiten

Ein Maß für die Effektstärke kann nicht nur auf der Grundlage von Mittelwert- oder Varianzunterschieden, sondern auch in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Siehe dazu,[13] Seite 4. In diesem Fall wird aus den Zahlen einer Kreuztabelle, die Wahrscheinlichkeiten statt absoluter Häufigkeiten enthält,   berechnet und daraus die Wurzel gezogen. Das Ergebnis ist Cohens  :

 

Dabei ist   die Anzahl der Kategorien der Spaltenvariable,   die Anzahl der Kategorien der Zeilenvariable,   die beobachtete Wahrscheinlichkeit in der Zelle i.j und   die erwartete Wahrscheinlichkeit in der Zelle i.j. Erwartete Zellenwahrscheinlichkeiten werden berechnet, indem die jeweils entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden. Zur Berechnung von   siehe auch[14] und zu Cohens   [15] und,[13] S. 6. Da bei Kreuztabellen, die nicht absolute Häufigkeiten, sondern Wahrscheinlichkeiten enthalten, an der Stelle, an der normalerweise die Fallzahl zu finden ist, immer 1 steht, kann statt   auch   berechnet werden, was numerisch identisch ist:

 

Ebenfalls numerisch identisch ist es, wenn in Bezug auf Kreuztabellen, die Wahrscheinlichkeiten enthalten,   berechnet wird, wobei   die Anzahl der Zeilen,   die Anzahl der Spalten und   die kleinere der beiden Zahlen ist.[1]

Für Cohens   gelten konventionell der Wert 0,1 als klein, 0,3 als mittel und 0,5 als groß.[15]

Kleine, mittlere und große EffektstärkenBearbeiten

Die vorher angegebenen Werte für kleinere, mittlere oder große Effektstärken hängen stark vom Sachgebiet ab. Cohen hat die Werte im Rahmen seiner Analysen und dem sozialwissenschaftlichen Usus gewählt.

“This is an elaborate way to arrive at the same sample size that has been used in past social science studies of large, medium, and small size (respectively). The method uses a standardized effect size as the goal. Think about it: for a "medium" effect size, you'll choose the same n regardless of the accuracy or reliability of your instrument, or the narrowness or diversity of your subjects. Clearly, important considerations are being ignored here. "Medium" is definitely not the message!”

„Dies ist ein komplizierter Weg um zu den gleichen Stichprobenumfängen zu gelangen, die in der Vergangenheit in großen, mittleren und kleinen sozialwissenschaftlichen Studien benutzt worden sind. Diese Methode hat eine standardisierte Effektstärke zum Ziel. Denken wir darüber nach: Für eine "mittlere" Effektstärke wählen wir den gleichen Stichprobenumfang unabhängig von der Genauigkeit oder der Verlässlichkeit des Instrumentes, die Ähnlichkeit oder die Unterschiede der Untersuchungsobjekte. Natürlich werden hier wichtige Aspekte der Untersuchung ignoriert. "Mittel" ist kaum die Botschaft!“

R.V. Lenth: [16]

Sie werden daher von vielen Forschern nur als Richtwerte akzeptiert beziehungsweise kritisch hinterfragt. Eine empirische Untersuchung bezüglich der Häufigkeiten der Effektstärken in der Differentiellen Psychologie hat ergeben, dass Cohens Einteilung der Pearson-Korrelationen (klein = 0,10; mittel = 0,30; groß = 0,50) die Befundlage in diesem Forschungsbereich unzureichend abbilden. So konnten nur in weniger als 3 % der herangezogenen Studienergebnisse (insgesamt 708 Korrelationen) eine Effektstärke von mindestens   beobachtet werden. Basierend auf dieser Untersuchung wird vielmehr empfohlen,   als kleine,   als mittlere und   als große Effektstärke zu interpretieren.[17]

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d e f g J. Cohen: Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2. Auflage. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale 1988, ISBN 0-8058-0283-5.
  2. W. Lenhard / Original design by A. Viklund - http://andreasviklund.com/: Berechnung der Effektstärken d (Cohen, 2001), dkorr (nach Klauer, 2001), d aus t-Tests, r, Eta-Quadrat und Umrechnung verschiedener Maße: Psychometrica. In: psychometrica.de. Abgerufen am 28. April 2016.
  3. J. Hartung, G. Knapp, B. K. Sinha: Statistical Meta-Analysis with Application. Wiley, New Jersey 2008, ISBN 978-0-470-29089-7.
  4. L. V. Hedges: Distribution theory for Glass's estimator of effect size and related estimators. In: Journal of Educational Statistics. 6, (2) 1981, S. 107–128.
  5. Comparison of groups with different sample size (Cohen's d, Hedges' g) – Erklärung und Berechnung von Hedges g.
  6. Markus Bühner, Matthias Ziegler: Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler. Pearson Deutschland, 2009, S. 175.
  7. Henriette Reinecke: Klinische Relevanz der therapeutischen Reduktion von chronischen nicht tumorbedingten Schmerzen. Logos Verlag, Berlin 2010, S. 49.
  8. Markus Bühner, Matthias Ziegler: Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler. Pearson Deutschland, 2009, S. 175.
  9. Paul D. Ellis: The essential guide to effect sizes: Statistical power, meta-analysis, and the interpretation of research results. Cambridge University Press, 2010, S. 10.
  10. Jürgen Margraf: Kosten und Nutzen der Psychotherapie. Eine kritische Literaturauswertung. 2009, S. 15.
  11. a b B. Rasch, M. Friese, W. Hofmann, E. Naumann: Quantitative Methoden 2. Einführung in die Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler. Springer, Heidelberg 2010, S. 78/79.
  12. J. Bortz: Statistik für Sozial- und Humanwissenschaftler. Springer, Heidelberg 2005, S. 280/281.
  13. a b Dirk Wentura: Ein kleiner Leitfaden zur Teststärke-Analyse. Saarbrücken: Fachrichtung Psychologie der Universität des Saarlandes 2004, (online)
  14. Hans Benninghau: Statistik für Soziologen 1. Deskriptive Statistik. (= Teubner Studienskripten. 22). Teubner, Stuttgart 1989, S. 100ff.
  15. a b Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Springer, Heidelberg 2005, S. 167–168.
  16. R. V. Lenth: Java applets for power and sample size. Division of Mathematical Sciences, the College of Liberal Arts or The University of Iowa, 2006, Zugriff am 26. Dezember 2008.
  17. G. E. Gignac, E. T. Szodorai: Effect size guidelines for individual differences researchers. In: Personality and Individual Differences. 102, 2016, S. 74–78. doi:10.1016/j.paid.2016.06.069

LiteraturBearbeiten

  • Wynne W. Chin: The Partial Least Squares Approach to Structural Equation Modeling. In: George A. Marcoulides (Hrsg.): Modern Methods for Business Research. Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah 1998, S. 295–336.
  • Jacob Cohen: A power primer. In: Psychological Bulletin. 112, 1992, S. 155–159.
  • Oswald Huber: Das psychologische Experiment. Bern u. a 2000.
  • Brigitte Maier-Riehle, Christian Zwingmann: Effektstärkevarianten beim Eingruppen-Prä-Post-Design: Eine kritische Betrachtung. In: Rehabilitation. 39, 2000, S. 189–199.
  • Rainer Schnell, Paul B. Hill, Elke Esser: Methoden der empirischen Sozialforschung. München/ Wien 1999.
  • Jürgen Bortz, Nicola Döring: Forschungsmethoden und Evaluation. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-59375-6.

WeblinksBearbeiten