In der Zahlentheorie ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl und die -te Mersenne-Zahl ist.

Beispiele

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Die ersten fünf doppelten Mersenne-Zahlen sind die folgenden (Folge A077585 in OEIS):

 

Eigenschaften

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Jede doppelte Mersenne-Zahl ist   ist definitionsgemäß selbst Mersenne-Zahl, nämlich die  -te.

Doppelte Mersenne-Primzahlen

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Ist eine doppelte Mersenne-Zahl   eine Primzahl, nennt man sie doppelte Mersenne-Primzahl.

Beispiele

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Die ersten vier doppelten Mersenne-Primzahlen sind die folgenden (Folge A077586 in OEIS):

 

Mehr als diese vier sind momentan nicht bekannt.

Eigenschaften

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Sei   mit natürlichem  . Dann gilt:

  ist nur dann eine Primzahl, wenn auch die Mersenne-Zahl   eine Primzahl ist.

Die Umkehrung gilt nicht: Wenn   eine Primzahl ist, kann   eine Primzahl sein, muss es aber nicht.

Die folgende Tabelle zeigt an, welche doppelten Mersenne-Zahlen   mit   prim sind, welche nicht und von welchen noch nicht einmal bekannt ist, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht. Dabei ist   eine  -stellige zusammengesetzte Zahl und   ein  -stelliger Restfaktor:

      Anzahl der Stellen von     Primzahl? Faktorisierung von  
2     1 prim  
3     3 prim  
5     10 prim  
7     39 prim  
11     617 nicht prim  
13     2.466 nicht prim  
17     39.457 nicht prim  
19     157.827 nicht prim  
23     2.525.223 nicht prim  
29     161.614.249 nicht prim  
31     646.456.993 nicht prim  
37     41.373.247.568 nicht prim unbekannt
41     661.971.961.084 nicht prim unbekannt
43     2.647.887.844.335 nicht prim unbekannt
47     42.366.205.509.364 nicht prim unbekannt
53     2.711.437.152.599.296 nicht prim unbekannt
59     173.531.977.766.354.911 nicht prim unbekannt
61     694.127.911.065.419.642 unbekannt kein Primfaktor  [1][2]

Die doppelte Mersenne-Zahl   ist viel zu groß, als dass man einen bekannten Primzahltest (vor allem den auf Mersenne-Zahlen zugeschnittenen Lucas-Lehmer-Test) auf sie anwenden könnte. Daher weiß man nicht einmal, ob sie zusammengesetzt ist oder nicht. Für alle anderen Primzahlen   weiß man ebenfalls noch nicht, ob   prim ist oder nicht. Es wird allerdings vermutet, dass es keine anderen doppelten Mersenne-Primzahlen gibt mit Ausnahme der ersten vier.[3][4]

Catalan-Mersenne-Zahlen

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Die folgenden rekursiv definierten Zahlen nennt man Catalan-Mersenne-Zahlen (Folge A007013 in OEIS):

 

Schon von   weiß man nicht, ob sie prim ist oder nicht, weil sie viel zu groß ist (viel größer als  , welche für bekannte Primzahltests schon viel zu groß ist; sie hat 51.217.599.719.369.681.875.006.054.625.051.616.350 Stellen). Bekannt ist lediglich, dass sie keinen Primfaktor   hat. Allerdings wird vermutet, dass diese Zahl   zusammengesetzt ist. Wenn aber   zusammengesetzt ist, wären alle weiteren   mit   ebenfalls zusammengesetzt, weil schon weiter oben gezeigt wurde, dass   (und   ist eine doppelte Mersenne-Zahl) nur dann eine Primzahl ist, wenn auch   eine Primzahl ist.[5][6]

Der Mathematiker Eugène Charles Catalan hat sich erstmals mit diesen Zahlen beschäftigt, nachdem die Primalität von   von Édouard Lucas im Jahr 1876 bewiesen wurde.[3][7] Er behauptete als erster, dass diese Zahlen bis zu einem gewissen oberen Limit   allesamt prim sind und danach alle weiteren zusammengesetzt.

Eigenschaften

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Die Menge der Catalan-Mersenne-Zahlen sind eine Teilmenge der Menge der doppelten Mersenne-Zahlen.[5] Mit anderen Worten: Jede Catalan-Mersenne-Zahl ist auch gleichzeitig eine doppelte Mersenne-Zahl.

In der Serie Futurama kommt die doppelte Mersenne-Zahl   in der Folge Die Ära des Tentakels (2008) vor. Sie taucht kurz im Hintergrund auf einer Tafel in einem „elementaren Beweis der Goldbachschen Vermutung“ auf (welche in Wirklichkeit noch nicht bewiesen ist). In dieser Episode wird diese Zahl als martian prime bezeichnet.[5][8]

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Einzelnachweise

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  1. MM61 – A search for a factor of 2261-1-1
  2. MM61 – A search for a factor of 2261-1-1 – Listen
  3. a b Chris K. Caldwell: Mersenne Primes: History, Theorems and Lists – Conjectures and Unsolved Problems. Prime Pages, abgerufen am 25. Dezember 2018.
  4. I. J. Good: Conjectures concerning the Mersenne numbers. (PDF) In: Mathematics of Computation. 1955, S. 120–121, abgerufen am 25. Dezember 2018 (9).
  5. a b c Eric W. Weisstein: Catalan-Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
  6. Landon Curt Noll: Landon Curt Noll’s prime pages. Abgerufen am 26. Dezember 2018.
  7. Eugène Charles Catalan: Frage 92. In: Nouvelle correspondance mathématique – Questions proposées. Imprimeur de l’academie royale de Belgique, 1878, S. 94–96 (französisch); Textarchiv – Internet Archive.
  8. Les mathématiques de Futurama – Grands théorèmes. Abgerufen am 26. Dezember 2018 (französisch).