Diskussion:Satz von Kato

Problem mit Artikel-Lemma

Es gibt viele Sätze, die Katos Namen tragen und in der Literatur als "Satz von Kato" dargestellt werden. Es gibt einen Satz von Kato über Navier-Stokes-Gleichungen, siehe hier) und einen Satz von Kato aus der Quantenphysik, siehe en:Kato theorem, und weitere. Die hier besprochene Aussage ist möglicher Weise so von Kato einmal verwendet worden, aber ich kenne und finde keine Literatur, in der diese triviale Aussage als der Satz von Kato gilt. Wenn es irgendwo heißt " ... nach einem Satz von Kato ... ", dann genügt das nicht. Die hier besprochene Aussage ist eine triviale Übungsaufgabe zum Satz von der offenen Abbildung und war sicher schon Banach bekannt, möglicherweise handelt es sich um Folklore.

Lösung der Übungsaufgabe: Ohne Einschränkung ist A injektiv, sonst gehe zu $E/\mathrm {ker} (A)$ über. Ist U ein endlich-dimensionales Komplement, so gibt es einen Banachraum-Isomorphismus $\mathbb {K} ^{n}\rightarrow U$, denn auf endlich-dimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent. Dann ist $C:E\oplus \mathbb {K} ^{n}\rightarrow F,(e,x)\mapsto Ae+Bx$ ebenfalls injektiv und stetig und, da U Komplement zu A(E) ist, auch surjektiv. Nach dem Satz von der offenen Abbildung ist C offen und damit ein Banachraum-Isomorphismus. Da E von C auf A(E) abgebildet wird, folgt die Behauptung.

Derselbe Beweis funktioniert auch für die "Verallgemeinerung", ist sogar einfacher, da das Argument der endlichen Dimension von U entfällt. Ich schlage daher vor, diese Aussage als Anwendungsbeispiel in den Artikel "Satz über die offene Abbildung" einzubauen. Sollte es tatsächlich Kato gewesen sein, der das zum ersten Mal bewiesen hat (das glaube ich allerdings nicht), dann sollte das dort als Fußnote erwähnt werden. --FerdiBf (Diskussion) 09:53, 29. Aug. 2016 (CEST)

Hallo FerdiBf! Wie mir scheint, ist das wieder einmal die zwischen uns beiden schon so oft besprochene Frage der Wertigkeit von Quellen und der Einschätzung derer, die für diese verantwortlich sind. Heuser erwähnt in seinem doch umfassenden Buch über Funktionalanalysis nur diesen Satz von Kato. Er bezeichnet ihn auf S. 310 tasächlich in genau dieser Weise und erwähnt ihn auch im Index. An sich gehe ich bei Heuser davon aus, dass er zuverlässig ist. An sich gehe ich sogar ganz grundsätzlich davon aus, dass keiner der hier an der Wikipedia Beteiligten besser Bescheid weiß als ein ordentlicher Professor, der zudem durch seine Bücher eine hohe Reputation genießt.

Dass Kato noch eine Menge mehr geleistet hat, ist gar keine Frage und mir auch nicht neu. Ich denke nur an sein bekanntes Werk zur Operatortheorie. Mein Kompromissvorschlag - für den Fall, dass noch sonst wer sich die Mühe macht, andere katosche Sätze in der Wikipedia einzustellen - wär die Abänderung des Lemmas in eines mit Klammerappendix, meinetwegen so etwas wie Satz von Kato (Banachraumtheorie).

--Schojoha (Diskussion) 19:29, 29. Aug. 2016 (CEST)

Nachtrag: Ich habe noch Ergänzungen vorgenommen. Diese unterstreichen - wie ich finde - dass der Satz von Kato einen eigenen Artikel verdient und dass es nicht um eine Trivialität geht. Selbst wenn ein geübter Funktionalanalytiker keine Mühe hat mit dem Beweis.--Schojoha (Diskussion) 23:13, 2. Sep. 2016 (CEST)

Ich habe es im Heuser nachgeschlagen, mir verwundert die Augen gerieben, noch einmal geschaut, und tatsächlich, es heißt dort "Satz von Kato". So sei es! --FerdiBf (Diskussion) 15:01, 8. Sep. 2016 (CEST)

Übrigens: Heusers Buch ist in der deutschsprachigen Literatur ein gutes einführendes Lehrwerk (wie Werner oder Meise-Vogt auch) aber weit davon entfernt, umfassend zu sein. In vielen unserer Wikipedia-Artikel steht mehr, als im Heuser zu finden wäre, siehe Kategorie:Funktionalanaylsis. Und doch, es handelt sich um eine Trivialität! Der Satz von der offenen Abbildung gehört zu den sogenannten Prinzipien der Funktionalanalysis, die muss jeder kennen, der sich mit Funktionalanalysis befasst, und vor diesem Hintergrund ist es eine Trivialität. --FerdiBf (Diskussion) 15:01, 8. Sep. 2016 (CEST)

In Ordnung! Noch zwei Anmerkungen:

1) Ich finde es gut, dass Du einräumst, dass ich mich an die Quellen gehalten und nichts erfunden habe.

2) Hinsichtlich Deiner Auffassung in der Frage der Trivialität denke ich, Du unterschätzst, dass ein Satz sowohl leicht beweisbar als auch von Tragweite sein kann. Ein solcher Fall liegt hier vor und ich würde daher nicht von einer Trivialität reden wollen. Heuser etwa nennt die Verallgemeinerung des Satzes von Kato auf S. 310 "ein wichtiges hinreichendes Kriterium".--Schojoha (Diskussion) 22:27, 8. Sep. 2016 (CEST)