Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis

Unter Satz steht u.a.:

"Sei R eine Menge, die ...

   * keine Endpunkte hat, d.h. kein kleinstes (Infimum) und kein größtes Element (Supremum),

..."

Das Infimum ist aber nicht als kleinstes Element sondern als untere Schranke definiert, das Supremum entsprechend nicht als größtes Element sondern als obere Schranke. Hier ist wahrscheinlich Maximum und Minimum gemeint, oder? Ein Infimum und ein Supremum darf R natürlich trotzdem haben (muss es sogar wenn es ein endliches Intervall ist). (nicht signierter Beitrag von 84.56.234.75 (Diskussion) 00:25, 21. Mai 2006)

Nun, da es um die Definition der reellen Zahlen insgesamt geht vermute ich, dass damit gemeint ist, dass inf(R)=-Unendlich und Sup(R)=+Unendlich ist. Ich sehe allerdings nicht,inwiefern das für den Beweis überhaupt relevant ist. Könnte man sich glaube ich schenken.

Mir leuchtet allerdings das abschließende Argument noch nicht ganz ein. Also, da konstruktionsgemäß an<bn für alle n Element N, gibt es immer ein C Element R, so dass an<c<bn für alle n Element N (denn R hat keine Lücken). Desweiteren muss c=xj für irgendein j sein, denn ganz R soll durch die Folge (x1,...) abgedeckt sein. "Sobald aber bei der Konstruktion der beiden Folgen a und b dieser Index erreicht worden wäre, wäre c als Folgeglied einer dieser beiden Folgen gewählt worden." Wird hier stillschweigend vorausgesetzt, dass beide Folgen an und bn unendlich viele Folgenglieder haben? Nur dann kann man doch sicher sein, dass der Index i von ai oder bi irgendwann den Index j von xj=c übersteigt? C=xj liege zwischen allen an und bn und es gebe Folgenglieder mit größerem Index als C=xj. In diesem Fall müsste xj Folgenglied von bn oder an sein, da konstruktionsgemäß immer die Zahl mit dem kleinsten Index gewählt wird, die zwischen an und bn liegt. Das hätte aber zur Folge, dass c als Folgenglied nicht zwischen allen an und bn für alle n Element N liegt, da die Folgen an/bn streng monoton steigen/fallen.

O.K. Es fehlt aber, dass es unendlich viele Folgenglieder für an und bn geben müsste. Das kann man wohl durch Reduktio ad absurdum zeigen. Angenommen an hätte nur endlich viele Folgenglieder N. Dann gäbe es zumindest eine Zahl c mit aN<c=xj<bN. Diese Zahl c=xj habe den kleinsten Index von allen Zahlen, die zwischen aN und bN liegen. Folglich gibt es ein Folgenglied aN+1=c. Das ist auch im Widerspruch zur Voraussetzung.

Ich habe den Beweis noch nie gesehen. Gefällt mir aber sehr gut. Cantor war einfach ein Genie. Gruß Kilian Klaiber 20:30, 24. Jul 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 10:43, 25. Nov. 2023 (CET)

Was ist mit Q?

Gelten die vier Eigenschaften ("mind. 2 Elemente", "total geordnet", "dicht", "lückenlos") nicht auch für Q? Und Q ist aber nicht überabzählbar. Was habe ich übersehen? --RokerHRO 21:23, 11. Okt. 2008 (CEST)

Hallo RokerHRO,

bei den rationalen Zahlen fehlt die (im Artikel vielleicht etwas unglücklich formulierte) Eigenschaft "lückenlos", die man normalerweise als Ordnungsvollständigkeit bezeichnet, siehe auch Reelle Zahl#Axiomatische Einführung der reellen Zahlen. Z.B. kann man die rationalen Zahlen in die Menge aller rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als Zwei und die Menge aller rationalen Zahlen, deren Quadrat grösser als Zwei istb partitionieren, d.h. $A:=\{x\in \mathbb {Q} ;x^{2}<2\}$, $B:=\{x\in \mathbb {Q} ;x^{2}>2\}$ und $A\cup B=\mathbb {Q}$ und erhält damit ein Gegenbeispiel für die Forderung, dass die rationalen Zahlen "lückenlos" sind, da wir nun $c={\sqrt {2}}$ benötigen würden, aber bekannterweise ${\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q}$.(Ich hoffe, das verwirrt Dich jetzt nicht noch mehr, sonst einfach wieder fragen). Gruss --Godfatherofpolka 08:58, 12. Okt. 2008 (CEST)

Ich denke, das hab ich kapiert. Aber dann sollte man das im Artikel etwas besser formulieren, damit das klarer wird, was der Unterschied zwischen "dicht" und "lückenlos" ist. Oder? --RokerHRO 09:26, 12. Okt. 2008 (CEST)

Stimmt, das hat einiges Verbesserungspotential. Wagst Du Dich daran? Gruss --Godfatherofpolka 09:33, 15. Okt. 2008 (CEST)

Nein, nachher mache ich noch was kaputt. Von mathematischen Definitionen und Beweisen lasse ich die Finger. --RokerHRO 11:15, 15. Okt. 2008 (CEST)

Beweis vereinfachen

Ich finde, der Beweis ist unnötig kompliziert gemacht worden. Man kann ihn eigentlich auch auf Schulniveau runterbrechen. Was soll die Einführung der Mengen A und B und was soll der Dedekind-Schnitt? Warum fährt man, nachdem man festgestellt hat, dass die beiden Folgen streng monoton und beschränkt sind, nicht wie folgt fort?

Aus der Monotonie zusammen mit der Beschränktheit folgt die Konvergenz. Nennen wir den Grenzwert von $a_{n}$ $a$ und den Grenzwert von $b_{n}$ b. Dann gilt, dass $a\leq b$, weil für alle $n,m\in \mathbb {N}$ ja $a_{n}<b_{m}$ gilt. Das Intervall $[a,b]$ ist also nicht leer. Folglich wird es ein $N\in \mathbb {N}$ geben, so dass $x_{N}\in [a,b]$. Dieses $x_{N}$ müsste laut unseren Folgendefinitionen auch in einer unserer beiden Folgen auftauchen. Das kann aber nicht sein, da $a_{n}<a$ und $b_{n}>b$. Eine streng monotone Folge erreicht nämlich nie ihren Grenzwert. --Jobu0101 11:10, 4. Feb. 2011 (CET)

Der Beweis sieht so aus, wie er aussieht, weil er zum Beweis der behaupteten Eigenschaft der Menge R die in der Formulierung der Behauptung als Voraussetzung angegebenen Eigenschaften der Menge R verwendet. Der Beweis kommt in dieser Form auch ohne den Hilfssatz aus, dass (wenn auch nicht unbedingt in R, so doch wenigstens in $\mathbb {R}$) jede monotone beschränkte Folge konvergiert. (Er kommt soga ohne die epsilontische Grenzwert-Definition aus)--Hagman 17:36, 4. Feb. 2011 (CET)

Ah, okay sorry. Hatte gar nicht die Definition von R gelesen und es immer für $\mathbb {R}$ gehalten. So ist das ganze natürlich sinnvoll. --Jobu0101 21:53, 4. Feb. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 10:43, 25. Nov. 2023 (CET)

Anzahl der Elemente

"Sei R eine Menge, die mindestens zwei Elemente enthält, total geordnet ist, dicht geordnet ist, d. h. zwischen je zwei Elementen befindet sich stets ein weiteres,..."

Das hieße, daß bereits eine Menge erlaubt sei, die genau 2 Elemente enthält. Dann wäre die Behauptung, zwischen je zwei Elementen befände sich stets ein weiteres, ein Widerspruch zur Angabe der Anzahl der Elemente, da die Menge ja in diesem Fall 3 Elemente enthalten müßte. Dasselbe gilt für jede endliche Anzahl von Elementen. Eine Menge, die genau 2 Elemente enthält, kann nur abzählbar sein, egal wie sie geordnet ist. Oder kann mir jemand ein Beispiel nennen, das meinem Einwand widerspricht? --Wikilaser (Diskussion) 17:24, 23. Jun. 2012 (CEST)

Vielleicht wurde das hernach erst eingefügt, aber es ist guter Stil, Definitionen minimalistisch aufzubauen. Eine Menge, die mindestens zwei Elemente hat und eine dichte Totalordnung sowie vollständig ist, ist nämlich überabzählbar, wie dieser Satz besagt; mit nur zwei gibt es das also nicht. Die schwächere Aussage, daß sie unendlich ist, folgt ziemlich trivial (und ohne daß wir Vollständigkeit bräuchten) aus der Dichte: "man kann immer eins dazwischen finden". Das "mindestens zwei" steht da deswegen, weil eine Menge mit weniger als zwei Elementen wohl formell eine dichte Totalordnung haben kann. Eine Menge mit mehreren, endlich vielen Elementen, die die übrigen Voraussetzungen der Definition erfüllte (!), gibt es schlicht nicht.--2001:A61:3A69:A601:7D91:CE6E:1D51:D98C 19:55, 5. Jul. 2020 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 10:43, 25. Nov. 2023 (CET)