Diskussion:Affine Ebene

Konflikt mit Dimension

Die hier vorgestellte Definition der affinen Ebene produziert einen Konflikt mit der üblichen Definition der Dimension von Inzidenzräumen. Das Problem ist das Minimalmodell der Ebene. Nach der Definition, die hier angegeben ist, ist dieser Raum eine Ebene. Allerdings hat er die Dimension 3, da alle 4 Punkte benötigt werden, um den Raum zu erzeugen. -- Patrick 25.07.2009 (nicht signierter Beitrag von 79.211.83.220 (Diskussion | Beiträge) 18:44, 25. Jul 2009 (CEST))

kleinstes Modell

Unter Beispiele befinden sich zwei unterschiedliche Abbildungen, die beide als "kleinstes Modell einer affinen Ebene" bezeichnet werden. Wie kann das sein? Wozu sind für eine affine Ebene überhaupt 4 Punkte nötig? Anders gefragt: Was ist der Unterschied zwischen einer gewöhnlichen Ebene, die durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte gebildet wird, und einer affinen Ebene, bei der aus einem mir nicht ersichtlichen Grund noch ein 4. Punkt erforderlich ist? --Wikilaser (Diskussion) 11:01, 4. Mär. 2015 (CET)

Zur ersten Frage: Beide Abbildungen zeigen das gleiche Modell, nur etwas anders dargestellt. Die Ebene besteht jeweils aus 4 Punkten und 6 Geraden, die je zwei der 4 Punkte verbinden.

Zur zweiten Frage: Das sind zwei völlig verschiedene Dinge. Eine Ebene im euklidischen Raum wird durch 3 Punkte bestimmt, sie besteht aber aus unendliche vielen Punkten. Schon eine Gerade besteht aus unendlich vielen (sogar überabzählbar vielen) Punkten. Hierbei geht es um eine Ebene im dreidimensionalen Raum. Man kann aber natürlich eine euklidische Ebene auch ohne den umgebenden Raum betrachten. Dann wird jeder Punkt durch 2 reelle Koordinaten (x,y) dargestellt (wenn man ein kartesisches Koordinatensystem wählt). Somit kann man die Ebene mit der Menge $\mathbb {R} ^{2}$ der Paare von reellen Zahlen identifizieren.

In einem abstrakten Sinn kann man auch "Ebenen" betrachten, bei denen man den Körper (Zahlbereich) $\mathbb {R}$ durch einen anderen Körper ersetzt, z.B. den Körper $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen oder den Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen. Man kann aber auch sogar einen endlichen Körper nehmen, wie den Körper $\mathbf {F} _{2}$, der nur aus zwei Elementen 0 und 1 besteht. Wenn man diesen Körper zu Grunde legt, bekommt man als Ebene die Menge $\mathbf {F} _{2}{}^{2}$, das ist die Menge der Paare (0,0), (0,1), (1,0) und (1,1), also eine Menge mit nur 4 Elementen.

Anschaulich hat das nicht mehr viel mit einer Ebene zu tun, aber es gelten (wenn man sie sinnvoll interpretiert) noch alle Gesetze der affinen Geometrie, deshalb spricht man von einer affinen Ebene. --Digamma (Diskussion) 21:38, 4. Mär. 2015 (CET)

2. Axiom

Jemand hat als 2. Axiom eingefügt

1. Auf jeder Geraden liegen mindesten zwei Punkte.

Das ist meiner Meinung nach nicht nötig: Es gilt ja:

1. Es gibt drei verschiedene Punkte aus ${\mathcal {P}}$ (ein „Dreieck“), die nicht alle auf einer Geraden aus ${\mathcal {G}}$ liegen.

--Joachim Mohr (Diskussion) 21:03, 9. Jan. 2022 (CET)

Das Axiom ist notwendig. Ansonsten wäre eine leere Gerade möglich, auf der gar keine Punkte liegen. Eine solche Gerade berührt nicht die Eindeutigkeit der Verbindungsgerade, da sie gar keine Punkte enthält, die sie verbinden könnte. Genausowenig berührt sie die Eindeutigkeit der Parellelen durch einen Punkt, da sie durch gar keinen Punkt verläuft. Und Punkte, die vorher in allgemeiner Lage waren, sind es auch durch Hinzufügen der leeren Gerade, da diese die Punkte in allgemeiner Lage nicht enthält. --Vercassivelaunos (Diskussion) 18:30, 18. Jan. 2022 (CET)

Jetzt muss ich etwas ausholen (Siehe Skriptum von Olaf Tamaschke Auszug ...):

Lemma: Es gibt mindestens 3 Geraden, die sich nicht in einem Punkt treffen.

Beweis: Nach dem Reichhaltigkeitsaxiom gibt es drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer Geraden liegen. Dann sind AB, AC und BC drei Geraden, die sich nicht in einem Punkt treffen.

Lemma: Durch jeden Punkt p gehen mindestens 3 Geraden.

Beweis: Nämlich zu den soeben definierten drei Geraden die Parallelen durch p.

Lemma: Auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte.

Beweis: Sei g eine Gerade. Wähle einen beliebigen Punkt p der Ebene. Durch p verlaufen mindestens drei Geraden. Mindestens zwei davon sind nicht parallel zu g und schneiden also g in zwei verschiedenen Punkten.

Das Gerede von "leerer Gerade" ist also Unsinn.--Joachim Mohr (Diskussion) 10:13, 19. Jan. 2022 (CET)

Stimmt tatsächlich. Ich habe mich geirrt. --Vercassivelaunos (Diskussion) 23:07, 21. Jan. 2022 (CET)

Danke für die Rückmeldung. --Joachim Mohr (Diskussion) 08:35, 22. Jan. 2022 (CET)